京大 99年数学

京大数学
京大
放物線
灘進学教室
９９年
y = x2
数学
（すべて類題）
の上を動く２点Ｐ、Ｑがあって、この放物線と線分ＰＱが囲む部分の面積が常に１であるとき、
ＰＱの中点Ｒが描く図形の方程式を求めよ。
【答案】
y = x2
... ①
①上の点をＰ (
2
,
) 、Ｑ (
,
)+
2
2
)
直線ＰＱは
2
y=
2
(x
y=(
+
)x
放物線①と線分ＰＱが囲む部分の面積は
{( + ) x
=
(x
x 2 }d x
)( x
= 1(
6
)dx
)3
仮定より
1(
6
)3 = 1
=3 6
線分ＰＱの中点をＲ (
X=
+
2
... ②
X, Y)
, Y=
2
とすると
+
2
2
よって
Y = 1 {( + ) 2 + (
4
1
= { 4 X 2 + 3 36 }
4
3 36
2
∴Y = X +
4
Ｐ、Ｑは①上を動くから
X はすべての実数値を取る
よって
Ｒが描く図形の方程式は
y = x2 +
http://nadasingaku.com
3
36
4
)2 }
（
<
）とすると
京大数学
京大
灘進学教室
９９年
数学
http://nadasingaku.com
（すべて類題）
２
平面上に２定点Ａ、Ｂをとる。
c
は正の定数として、平面上の点Ｐが
PA PB + PA PB = c
を満たすとき、
点Ｐの軌跡を求めよ。
３
a 0 < b 0 , a 1 < b1
(1)
b1
2
を満たす正の実数 a 0
2
a1
a1
, b 0 , a 1 , b1
について、次の不等式が成り立つことを示せ。
2
2
b1
+ 2
> 2
+ 2
2
a 0 + 1 b0 + 1 a 0 + 1 b0 + 1
n 個の自然数 x1 , x2 , ... , xn は互いに相異なり、 1≦ xk ≦ n （ 1≦ k ≦ n ）を満たしている。
(2)
このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
2
n
k =1
xk
>n 8
2
5
k +1
４
複素平面上で、△ＡＢＣの頂点を表す複素数を
,
△ＡＢＣは辺の長さ
+
②
(2)
とする。
3 の正三角形である
+ =3
③
(1)
,
が次の３条件を満たすとする。
,
①
,
は絶対値１で、虚数部分は正
z=
,
1 とおいて、
と
を
z
を使って表せ。
の偏角を求めよ。ただし 0° ≦ arg
,
≦ arg ≦ arg < 360° とする。
５
2,
3,
6
が無理数であることは使ってよい。
(1)
有理数
(2)
実数係数の２次式
p, q, r
について、
p + q 2 + r 3 = 0 ならば、 p = q = r = 0
であることを示せ。
f ( x) = x 2 + a x + b について、
f (1) , f (1 + 2 ) , f ( 3 )
のいずれかは無理数であることを示せ。
６
x, y
は
t
を媒介変数として、次のように表示されているものとする。
3t t 2
3t 2 t 3
、y=
t +1
t +1
変数 t が 0 ≦ t ≦ 3 を動くとき、 x と y の動く範囲をそれぞれ求めよ。
さらに、この ( x , y ) が描くグラフが囲む図形と領域 y ≧ x の共通部分の面積を求めよ。
x=

Download Report