475_放物線と x 軸に内接する長方形の周の長さと面積の最大値問題放物線と x 軸に内接する長方形の周の長さと面積の最大値問題 2 放物線 y = f ( x) = ax + bx + c ( a < 0) のグラフが右図のように x 軸と異なる 2 点 x = α , D β (α < β ) で交わるとき，放物線と x 軸とで囲まれた部分に内接する長方形 ABCD の周の長さ L と面積 S の最大値を求める問題についての解法を考えよう． a ただし，長方形の 1 辺は x 軸上にあるものとする． C b A B x 周の長さ L の最大値を求めることは｢数学Ⅰ｣，面積 S の最大値を求めることは｢数学Ⅱ｣の範囲の問題である． b に関して対称であることを利用して，x 軸上の 2a 点 A（または B）の座標をパラメータで表し，L および S をそのパラメータの式で表すこ b , 0 である点を M とができれば，最大値を求めることができる．そこで，座標が − 2a 放物線と長方形は，放物線の軸 x = − ( ) とすると [方法１] 点 A の座標を (t , 0) とおけば ( ) M A B x b b − t ，AD = f (t ) t AB＝2AM = 2 − 2a 2a b − s , 0 であり， [方法２] AM = s とおけば，点 A の座標は − A s M s B 2a x b b −s AB＝2AM = 2s ，AD = f − 2a 2a q 上のどちらの方法でも解答可能であるが，長方形の高さ AD を求めるのは，方法 1 の ( ( ) ) 方が簡単である． 2 例題１．放物線 y = 6 x − x と x 軸とで囲まれる部分に内接する長方形（1 辺は x 軸上にある）のうちで，周の長さが最大になる長方形の長辺の長さを求めよ． (自治医科大) s 右の図のように，内接する長方形を ABCD とし， x 軸上の点 A の座標を (t , 0) (0 < t < 3) とおくと AB＝ 2(3 − t ) = 6 − 2t y y =6x -x 2 2 9 AD = 6t − t であるから，長方形の周の長さ L は L = 2(6 − 2t + 6t − t 2 ) = −2t 2 + 8t + 12 D C 2 = −2(t − 2) 2 + 20 0 < t < 3 より， t = 2 のとき L は最大値 20 をとる． 6t- t よって，このときの長辺の長さは AB = 2 ，AD = 8 より， 8 である． O −1− A t B 3 6 x http://www.geocities.jp/ikemath t 右の図のように，内接する長方形を ABCD とし， AB = 2s （ 0 < 2 s < 6 ⇔ 0 < s < 3 ）とおくと，点 A の座標は (3 − s , 0) と表せるから 2 y y =6x -x 2 9 2 AD = 6(3 − s ) − (3 − s ) = − s + 9 D C したがって，長方形の周の長さ L は L = 2(2 s − s 2 + 9) = −2s 2 + 4s + 18 = −2( s − 1) 2 + 20 0 < s < 3 より， s = 1 のとき L は最大値 20 をとる．よって，このときの長辺の長さは 8 である． s A s O 3-s 3 B 6 x 2 例題２．xy 平面において，放物線 y = − x + 6 x と x 軸で囲まれた図形に含まれ，(a , 0) と (a , − a 2 + 6a ) を結ぶ線分を 1 辺とする長方形を考える．ただし， 0 < a < 3 とする．このような長方形の面積の最大値 S (a ) とする． (1) S (a ) を a の式で表せ． (北海道大) (2) S (a ) の値が最大となる a を求め，関数 S (a ) のグラフをかけ． s 長方形の面積が最大となるのは，右の図のように長方形 ABCD が放物線と x 軸で囲まれた図形に内接する場 y y =-x 2 +6x 9 合である． (1) 2 A (a , 0) ，D (a , − a + 6a ) とすると，放物線と長方形はともに軸 x = 3 に関して対称となるから -a 2 +6 a D C 2 AB＝ 2(3 − a ) = 6 − 2a ，AD = −a + 6a したがって S0 a 1 S (a) = (6 − 2a)(−a 2 + 6a) = 2a 3 − 18a 2 + 36a (2) O (1)の結果から A a B 3 6 x S ′(a) = 6a 2 − 36a + 36 = 6(a 2 − 6a + 6) a 2 − 6a + 6 = 0 とおくと， a = 3 ± 3 0 < a < 3 より，増減表は次のようになる． a 0 y 12U 3 y = S0 a 1 3 3− 3 S ′( a) ＋ 0 − S (a ) 9 極大 : S (a) = (a 2 − 6a + 6)(2a − 6) − 12a + 36 より O 3-U 3 3 x S (3 − 3 ) = −12(3 − 3 ) + 36 = 12 3 よって， a = 3 − 3 のとき， S (a ) の値は最大となり，関数 S (a ) のグラフは上の図のようになる． −2− 475_放物線と x 軸に内接する長方形の周の長さと面積の最大値問題 ■ 練習問題． 2 １．放物線 y = 8 x − x と x 軸で囲まれた部分に内接する長方形の周の長さを l とすると，である．ただし，長方形の 1 辺は x 軸上にあるものとする．(摂南大) l の最大値は 2 ２．放物線 y = − x + 4 x + 8 と x 軸で囲まれた図形に内接し，x 軸上に 2 つの頂点をもつ長方形の面積の最大値を求めよ． (山梨大) u 放物線と x 軸で囲まれた部分に内接する長方形は， y これまでに扱ってきた場合以外に，右の図のような場合も考えられる．しかしながら，長方形の 3 頂点が放物線上にあり，残りの頂点が x 軸上にある場合の周の長さと面積の最大値を求めることは至難に近い．例えば，放物線の方程式が P y = f ( x) = 4 − x 2 4 R 2 の場合，右図の長方形 PQRS において，点 P の座標を (a , 4 − a 2 ) とおき，直線 PQ，PR の傾きをそれぞれ Q 1 m , − とすると −2 S O m 2 直線 PQ の方程式は y = mx − ma + 4 − a 1 x + a + 4 − a2 直線 PR の方程式は y = − m m 2 y = 4 − x とそれぞれ連立することによって，2 点 Q，R の座標を求めると ( 2 x ) ⎛ 1 −a, f 1 −a ⎞ ⎟ m ⎝m ⎠ Q ( − m − a , f ( − m − a ) ) ，R ⎜ ここで，線分 PS と QR が互いに中点で交わることから f (a) + 0 = 2 f (−m − a) + f ( ) 2 ( m1 − a ) ⎛ 2+ 2 < m < 2+ 2 ⎞ ⎜ ただし， ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⇔ a 2 + 2 m − 1 a + m 2 + 12 − 4 = 0 m m ⎛ ⎞ ⇔ a = −m + 1 + 2 ⎜ − 2 + 2 < a < 2 − 2 ⎟ m 2 2 ⎠ ⎝ これから，長方形 PQRS の面積を S ( m) とすると S ( m) = − m + 1 m − 2 − 2 2 2m − 1 − 2 2 m m m ( )( )( ) ⎛ ⎞ = − ⎜ 2m3 − 6 2 m 2 + 5m + 5 + 6 22 + 23 ⎟ m m m ⎠ ⎝ このグラフから，m 7 2.6 のとき最大値は約 5.9 をとることは判るが，これを代数的に求めることは不可能である．（もし，求めることが出来たら，是非，ご教授ください．） −3− y y = S0 m 1 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4m