第十三回仕事とエネルギー基礎物理学 I 2014 年 7 月 10 日 1 仕事と運動エネルギー床に置いた荷物にロープをつけて、角度 θ の方向に一定の力 F で引っぱり続けるとする（図 1）。力を与え続けることで物体は加速し、運動に関するエネルギーが増加したと考えることができる。このとき力 F は物体に対して仕事をしたという。床を x 軸にとり、荷物の初期位置から移動した位置に向かって移動ベクトル s を定義すれば、仕事は次のように定義される。 W ≡ Fx s = F cos θs = F · s (1) ここで力 F の x 成分を Fx とおいた。仕事の単位は [N·m]=[J] （ジュール）である。 v0 m v F θ Fx s x 図 1: 物体に仕事をする。さて、荷物が初期速度 v0 で運動しているとき、外から仕事 W を与えると速度はどれだけ変化するだろうか。荷物が距離 s だけ移動して速度が v に変化したとする。荷物の加速度の x 成分を ax とすれば、ニュートンの第二法則より Fx = max (2) となる。また、速度 v と初期速度 v0 の関係は v 2 = v02 + 2ax s (3) であるので、式（3）の両辺に m/2 をかけて式を整理すると、式（1）と Fx = max という関係から、 1 1 mv 2 − mv02 = W 2 2 (4) となる。すなわち、速度 v を持って運動している物体のエネルギーを K≡ 1 mv 2 2 1 (5) と定義すれば、物体にした仕事がエネルギー K の変化分に等しいことになる。このエネルギー K は物体の運動状態を表すエネルギーとしてふさわしいので、運動エネルギーと呼ばれている。仕事 W を加える前と後の物体の運動エネルギーをそれぞれ Ki 、Kf とおけば、物体のエネルギーの釣り合いは Kf = Ki + W (6) と書くことができる。物体に正の仕事（W > 0）をすると運動エネルギーは増加し（Kf > ki ）、物体に負の仕事（W < 0）をすると運動エネルギーは減少する（Kf < ki ）。 2 任意の経路に沿ってする仕事前節では直線上を運動する物体の運動エネルギーと仕事の関係について論じた。では、物体が任意の曲線上を運動するときの仕事はどうなるだろうか。ここではより一般的な物体の運動エネルギーと仕事の関係について考える。 B Fi F1 F 2 ∆s2 A ∆s1 θi ∆si 図 2: 曲がりくねった径路に沿って仕事をする。一般的な曲がりくねった経路 AB を考え、A から B まで力 F を加えて移動させるとする（図 2）。力 F の大きさや方向はもちろん物体のある位置によって異なる。経路 AB を無数の微小な経路に分割し、その微小な経路上を移動させるための仕事（微小仕事）をまずは計算しよう。A にある物体に力 F1 を加えて微小ベクトル ∆s1 だけ物体を移動させるとする。更に力 F2 を加えて微小ベクトル ∆s2 だけ物体を移動させる。これを延々と繰り返せば（N 回としよう。N は大きな数）、いつかは B に到着するだろう。力 Fi と微小ベクトル ∆si のなす角を θi とすれば、力 Fi のする微小仕事 ∆Wi は ∆Wi = Fi · ∆si (7) = Fi cos θi ∆si (8) = Fit ∆si (9) となる。ここで Fit = Fi cos θi とした。この微小仕事を経路 AB に沿って全て足しあわせれば、A から B まで物体を運ぶためにする仕 2 事は WA→B = N ∑ lim N →∞ ∫ Fi · ∆si (10) i B = F · ds (11) Ft ds (12) A ∫ B = A となる。ここで Ft は力 F の経路の接線方向の成分である。この結果から、A、B における物体の運動エネルギーをそれぞれ KA 、KB とすれば、運動エネルギーと仕事の関係より、 ∫ B KB − KA = Ft ds (13) A となる。 ✓ ✏ 例題 1：図 3 のように、一定の動摩擦力 f の働く水平面上で、質量 m の質点を径路 C1 、C2 に沿って移動させるときに必要な仕事を計算しなさい。 ✒ y a B ✑ A’ C2 C1 A a x 図 3: 動摩擦力が働く３つの経路。結果は講義で示した。重い荷物をひきずって（摩擦力を受けながら）歩くとき、その径路が長い程多くの仕事が必要になる（つまり、疲れる）という当たり前の結果が導かれる。 3 保存力と非保存力前節では、摩擦力に逆らって物体に仕事をするときに、出発点と終点までの経路に依存して仕事の大きさが変わることを計算で示した。今度は摩擦力の代わりに、重力に逆らって仕事をする場合を考えよう。 ✓ ✏ 例題 2：図 4 のように、重力場（ここでは重力が働く空間という意味）で C1 、C2 のそれぞれの経路に沿って A から B に質量 m の質点をゆっくりと移動させる時の仕事をそれぞれ求めよ。 ✒ ✑ 3 z a B A’ C2 g C1 A a x 図 4: 重力場にある３つの経路。講義で示したように２つの経路で計算した仕事の大きさは全て等しくなり、その大きさは W = mga (14) となる。このように、ある力に逆らって仕事をするときに、その仕事が経路に依存する力（摩擦力）と、依存しない力（重力やばねの力）が存在する。仕事が経路に依存する力のことを非保存力といい、仕事が経路に依存しない力のことを保存力という。重力やばねの力だけでなく、電荷同士の間に働くクーロン力も保存力である。このノートでは保存力のことを特別に Fc (r) と書くことにしよう。 4 ポテンシャルエネルギー P r0 F(r’)=-Fc(r’) P’ r r’ 0 図 5: 基準点 P から P まで質点を運ぶ。保存力に対して仕事をするときに、出発点さえきちんと定義しておけば、とある地点までの仕事は経路によらないのであった。そこでこの出発点を基準点と呼ぶことにして常に固定すれば、ある任意の地点において一意に決まる物理量となる。これをポテンシャルエネルギーという。前節の例 4 題３では、ある基準点（z = 0）から高さ a にある物体のポテンシャルエネルギーが mga であることを示した。これは中学校理科や高校物理で学習した位置エネルギーと呼ばれるものに等しい。任意の地点 P（位置 r）におけるポテンシャルエネルギーの一般的な表式を求めよう。図 5 のように、基準点 P（位置 r0 ）を定め、保存力 Fc (r ) に逆らって仕事をするとすれば、全仕事は、 ∫ r0 ∫ r ∫ r (−Fc (r)) · ds = Fc (r) · ds (15) F(r) · ds = r0 r r0 ≡ U (r) (16) となる。基準点 r0 においては、ポテンシャルエネルギーは０になることに注意しよう1 。また、式（15）は、保存力 Fc が位置 r から位置 r0 までした仕事とみなすこともできることにも注意しておこう。 ✓ この回のまとめ ✏ • ある力に逆らって仕事をするときに、その仕事が経路に依らないような力のことを保存力という。 • 保存力には重力、ばねの復元力、クーロン力等がある。 • 基準点から保存力に逆らって位置 r までした仕事のことをポテンシャルエネルギー（または位置エネルギー）という。 ✒ 1 式（15）で ✑ r = r0 とおけば、U (r0 ) = 0 となる。 5