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保存力と位置エネルギー p62
（一定の場合は W = F・s ）
力や移動方向が一定でない場合の仕事
力や移動方向が一定でない場合も、左の図のように
細かく分割すれば、その微小区間では、力や移動方向は一定。
i 番目の区間で力 Fi がする仕事 ∆Wi は、
Fi+1
Fi
Fi+2
∆Wi = Fi・∆si
物体がＡからＢまで移動する間に力 F のする仕事 WA
θι
N
∆si
∆si+1
WA
∆si+2
B = lim Σ Fi・∆si =
N ∞ i=1
B
B
∫ A F・ds = ∫ A Ft ds
Ft はF の
B
A
Bは
移動方向成分
線積分
経路ＡＢに沿っての積分 Ft = F cos θ
（曲線に沿った積分）
質点が任意の点Ａを出発して任意の点Ｂに行く間に、
保存力：力の行う仕事が途中の経路によらず一定な力である。
B
F
経路１
保存力
B
WA
∆s
B
=
∫ AF・ds は経路によらず一定
経路２
A
問題：左下の図の３つの経路で、質量 4 kg の質点がAからBまで移動するとき、
各経路について重力のする仕事を求めよ。重力加速度は 10 m/s2 とせよ。
上
A
経路１ C
経路２
1m
経路３
D
B
下
√3 m
重力は保存力である
質点がAからBに移動するとき、重力のする仕事は経路によらない。（上の経路以外の経路も）
第１０回（６／６）
１ページ
重力による位置エネルギー（再考）
エネルギー：外部に対して行うことができる仕事量（単位：ジュール[J] ）
（仕事をする能力）
滑車
ロープ
壁
左図のように m [kg] の物体にロープをつけると
物体は床まで移動する際に
ロープを mg [N]の力で
h [m] 引っ張ることができる。
棚
重力
F = mg [N]
棚の高さ
h [m]
この時物体ができる仕事の量は
W = Fs cosθ = mgh [J]
cosθ = 1
床から高さ h [m] にある m [kg] の物体は、
床に戻る際 mgh [J] の仕事をすることができる
床
物体がロープを引く力の大きさ＝物体に働く重力の大きさ
物体が行った仕事＝重力が行った仕事
↓
重力による位置エネルギー：基準点（上の例の場合は床の上）に戻るときに重力の行う仕事
（重力が行う仕事の分、物体は外部に対して仕事ができる。）
r0
位置 r にある物体の重力による位置エネルギーU(r) は、 U(r) = ∫ F重力・ds
r
（Wr
r0 = ∫
r0
（基準点はr0）
F重力・dsが経路によらず、位置 r だけで決まるから位置エネルギーが定義できる）
r
保存力
（どの経路を通ってもできる仕事は同じ）
r0
保存力 F保の位置エネルギー： U(r) = W保r
意味：保存力 F保の位置エネルギーは、
基準点
r0 =
∫r
F保・ds
に戻るときに、保存力 F保
がする仕事
（その分外部に仕事をすることができる。）
保存力であることを
強調するために F保と
書いたが単に F でよい。
第１０回（６／６）
２ページ
基準点以外のＡからＢに移動する場合に保存力 F保がする仕事
保存力だから、どのような経路を通っても値は一定
B
B
r0
A
A
W保A
B = ∫ F保・ds = ∫
W保A
B=
経路１
F保・ds =
rA：点Aの位置ベクトル
U(rA)：点Aにおける
経路２
r0
∫A
F保・ds + ∫
F保・ds －∫
B
r0
r0
B
F保・ds
F保・ds
= U(rA) －U(rB)
位置エネルギー
W保A
A
r0
B
= U(rA) －U(rB)
保存力のした仕事＝位置エネルギーの減少分
（位置エネルギーの減少分だけ外部に仕事ができる）
（仕事をした分、位置エネルギーが減った）
問題：質量 m の物体が高さ hA から高さ hB に移動するとき、
W保A B = U(rA) －U(rB) が成り立っていることを確かめよ。
W保A
hA [m]
B
= Fs = mg(hA－hB)
U(rA) －U(rB) = mghA－mghB = mg(hA－hB)
hB [m]
床
閉曲線C
閉曲線に沿って１周したときに保存力がする仕事
∫C F(r)・ds = WA
A
↑
A
= U(rA) －U(rA) = 0
閉曲線Ｃを１周する積分を表す記号
任意の閉曲線に対して上の式が成り立つことは
F が保存力である必要十分条件でもある。
第１０回（６／６）
３ページ
１次元問題での位置エネルギー
x軸に平行な力 F(r) = [ F(x), 0, 0 ] の力を受け、x軸に沿って運動する質点の場合
（力が位置で決まっている場合）
B
A
x
xA
xB
質点が A から B まで移動するとき、力 F(r) のする仕事 WAB は
WA
xB
xB
A
xA
B = ∫ x F(r)・ds = ∫
F(x)dx
( F(x), 0 , 0 )・( dx, 0, 0 ) = F(x)dx
経路を x軸上にとると ds = ( dx, 0, 0 ) なので、F(r)・ds = F(x)dx
この定積分は始点 xA と終点 xB だけで決まるので、力 F(r) = [ F(x), 0, 0 ] は保存力
（経路は１つしかない、経路によらない）
r0
保存力 F保の位置エネルギー： U(r) = W保r
r0 =
0
基準点を原点 x = 0 に選ぶと U(x) =
∫ xF(x)dx
∫ r F保・ds なので
x
= － ∫ F(x)dx
位置エネルギーと
保存力の関係
（積分形）
0
x で微分すると F(x)
F
F(x)
x で微分すると
x で微分
（この面積の変化率）
x が 1 増加すると
面積がどれだけ増加するか
x
∫ 0F(x)dx
dU
= －F(x)
dx
dU
F(x) = －
dx
位置エネルギーと
保存力の関係
微分形
= －U(x)
O
x
x
保存力 F(x) は位置エネルギー U(x) から導ける
保存力 F(x)は、位置エネルギー U(x) の傾き
に－をつけたもの
問題：摩擦力は F(r) = [ F(x), 0, 0 ] のように表せない。理由を説明せよ。
（摩擦力は保存力ではない。
位置エネルギーは定義できない）
x
第１０回（６／６）
４ページ
x
例１：重力による位置エネルギーの場合
問題①：質量 m の物体の U-x 図と F-x 図を書け。ただし、位置 x は上向きを正とする。
U(x) = mgx
F
U
m
F(x) = －mg
x
O
x
O
問題②：位置エネルギー U(x) より重力 F(x) を求めよ。
また、重力 F(x) より位置エネルギー U(x) を求めよ。
ただし、位置エネルギーの基準点は原点Oとする。
保存力 F(x)は、位置エネルギー U(x) の傾きに－をつけたもの
別の言い方をすると
位置エネルギーの
低い
↓
dU
方に向って力が働き、その力の大きさは位置エネルギーの傾き
に比例する。
dx
1 m あたりのU の変化量
例２：ばねの弾力による位置エネルギーの場合
問題①：ばねにつながれた物体Ａの
U-x 図と F-x 図を書け
F(x) = －kx
x
U
F
x
O
問題②：位置エネルギー U(x) より、ばねの弾力 F(x) を求めよ。
また、ばねの弾力 F(x) より位置エネルギー U(x) を求めよ。
ただし、位置エネルギーの基準点は原点Oとする。
第１０回（６／６）
５ページ
x
万有引力の法則（復習）
２物体の間に働く万有引力の大きさ F は、
２物体の質量 m1 と m2 の積 m1m2 に比例し、２物体の距離 r の２乗に反比例する。
m1
F=G
F12
r
m1m2
r2
G（重力定数）= 6.672×10－11 [m3／kg・s2]
m2
F21
F12 と F21 は大きさが同じで互いに逆向きになっており作用・反作用の関係にある
無限遠（基準点）
F=0
W は一定の値に
万有引力による位置エネルギー
この図は ds が大きすぎ。
実際は ds は r に比べ十分に小さい
dr
質量 m2 の質点に作用する万有引力（ベクトル表現）
≒θ
r
ds
F(r) = －G
= ds cosθ
m1m2 r
r2 r
－
r
r
（ベクトル表示）
：万有引力の向きの
単位ベクトル
（大きさが１のベクトル）
r・ds = r ds cosθ = r dr
r×（ds のうち r の方向の変位 = dr ）
質量 m1 の物体を固定した状態で、質量 m2 の物体をゆっくりと引き離し、距離を無限大にする場合、
万有引力のする仕事は
Wr
∞
∞
r
r
∞ = ∫ F・ds = ∫ －G
∞ m m
m1m2 r
m1m2
1 2
・ds
=
－
G
dr
=
G
∫
2
2
r
r
r
r
r
∞
|r = －G m1rm2
上記の式は、経路によらず成り立つので、万有引力も保存力である。
万有引力の位置エネルギーの基準点を２物体の距離が無限大の場合とすると
万有引力の位置エネルギーは
U万有(r) = Wr
∞=
－G
m1m2
r
r = 0 を基準点にとると発散
Fも∞
また、実際には、
大きさがあるので
r = 0 にはできない。
（位置エネルギーとは、基準点に戻るときに、保存力がする仕事）
その分、外部に仕事をすることができる
第１０回（６／６）
６ページ
質量 m1 の物体と質量 m2 の物体が x 軸上にあり（１次元問題）、
質量 m1 の物体は原点に固定されている。質量 m2 の物体の位置を x としたとき、
万有引力による位置エネルギー U(x) は右下の式のようになる。
m1
m2
U(x) = －G
x
x
O
m1m2
x
問題：質量 m2 の物体に作用する万有引力の向きと大きさを位置エネルギーより求めよ。
向きは上の図に矢印で書き込めよ。
p64 参考：
F(x) = －
dU
を３次元に拡張
dx
ある保存力 F(r) による位置エネルギーが U(r) であるとき
Fx = －
∂U
∂x
偏微分
,
Fy = －
∂U
,
∂y
Fz = －
∂U
∂z
∂U
： y と z を一定に保って x で微分（その場所でのx 方向の傾き）
∂x
∂U
U( x+∆x, y, z )－U( x, y, z )
= lim
∂x ∆x 0
∆x
グラディエントというベクトルの微分演算子 ∇= (
∂ ∂ ∂
, , ) を使うと
∂x ∂y ∂z
F(r) = －∇U(r) = －( ∂U , ∂U , ∂U )
∂x
∂z
∂y
スカラーである位置エネルギー U より
ベクトルである保存力 F が求められる
問題：鉛直上向きを z軸のプラスの向きとすると、重力による位置エネルギーは U = mgz である（基準点
は原点）。このとき Fx, Fy, Fz を求めよ。
F(r) = ( , , ) = - ( 0 , 0 , mg ) = ( 0 , 0 , -mg )
２次元、３次元に拡張しても、保存力 F は、位置エネルギー U の傾きに－をつけたもの
位置エネルギーの低い方に向って力が働き、その力の大きさは位置エネルギーの傾きに比例する。
∇U は位置エネルギーU の３次元の傾きを表す。gradient というのは、勾配、傾斜、傾きの意
第１０回（６／６）
７ページ
ブランコの物理（ブランコの不思議）
ブランコを漕げない人はいないと思いますが、
ブランコの漕ぎ方を物理的に説明できますか？
③
①
②
②の位置で存在する主な力を書き出したが
どれも揺れの方向に垂直なものばかり。
後ろから人が押せば、揺れの方向に加速できるが
乗っている人はいったいどうやって自力で漕げるのか？
座り漕ぎは特に難しい・・・
立ち漕ぎの方がわかりやすい。
（１）ブランコの動画をみて考えてみよう。
（２）おもりとひもを使った振り子の実演を見て考えてみよう。
（３）究極の漕ぎ方とは？
普通、ブランコを漕ぐときは、１往復の振動のうち、半分は何もしない。
行きも帰りも「漕ぐ」にはどうすればよいのか？（人間は前後非対称なので、難しいかも・・・）
答えは、何回か後で説明します。それまで、興味があったら考えてみて下さい。
究極の漕ぎ方に挑戦してもよいかも・・・
参考・実演：振り子の強制振動
振り子の強制振動の場合は、ひもを持つ手を振動に合わせて左右に動かしている。
ブランコの場合は、支柱が固定されているので、このような振り子の強制振動とは異なる。
復習問題：教科書p69A1,A3
第１０回（６／６）８ページ
学科
学生番号：
氏名：
この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら何でも自由に書いて下さい。
面白い物理の情報や、取り上げてほしい話題、不思議に思っていること等あったら書いて下さい。
この紙で今日の出席を確認します。
第１０回６月６日
学科
学生番号：
氏名：
この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら何でも自由に書いて下さい。
面白い物理の情報や、取り上げてほしい話題、不思議に思っていること等あったら書いて下さい。
この紙で今日の出席を確認します。
第１０回６月６日
偏微分のイメージ
例：重力による位置エネルギーは U = mgh （ g = 10 m/s2 ）
m = 0.1 kg とすると
U=h
つまり、100 g の物体が標高 h [m] にあるとき、
重力による位置エネルギーは、海面を基準点にすると h [J] である。
x軸、y軸を図のようにとると（２次元）
物体が地表にあるときの位置エネルギーU は x と y の関数であり U(x,y)とかける。
標高 h も場所によって変化するので、h(x,y)とかけ、
U(x,y) = h(x,y) である。
y
点P(xp,yp)が 50 m の等高線上
にあるとすると、この点に
おける位置エネルギーは
U(xp,yp) = 50 である。
P
この点線上の地表面の
断面図は下の図のように
なっている。
x
点Pにおける－∇U(r)は
点Pにおける斜面の傾きで
ボールを置いた時に
転がっていく向きである。
地図の矢印の向き
U,h
∂U
∂x
とは図の接線の傾きである。
点Pにおける偏微分
50
xp
x

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