O P x y

「一般力学 II」課題 4
担当: 荒井正純
出題: 2014/12/18
y
長さ l, 質量 M で，太さの無視できる棒の一端 O を固定し，粗い水平
面上で回転させる．水平面の動摩擦係数は µ′ とする．O を原点とし，こ
P
r
の水平面上に x 軸と y 軸をとる．
dr
θ
O
この棒を，長さが dr の微小要素に分割し，微小要素についての角運動
x
量方程式を考える．ここで，O から微小要素 P までの距離を r，x 軸の
正の向きに対する棒の回転角を θ とする．
˙ θ¨ のうち，必要なもののみを用いて表わすこ
以下の問いの答えは，定数 M, l, µ′ , g と変数 r, dr, θ, θ,
と．なお，棒は変形しないので，r˙ = r¨ = 0 と仮定する．dr の時間微分も考えなくてよい．
[1] 長さ dr の，この微小要素 P の質量を示せ．
[2] 微小要素 P が水平面から受ける動摩擦力の大きさを示せ．
[3] P の位置ベクトルは，r P = (r cos θ, r sin θ, 0) である．これを時間微分し，その速度 r˙ P を求めよ．
[4] 微小要素 P の角運動量の z 成分を求めよ．
[5] 動摩擦力のベクトル F f のデカルト座標系に関する成分を求めよ．なお，動摩擦力の向きは，問 [3] で
求めた速度と逆向きとなる．
[6] 動摩擦力による力のモーメントの z 成分を，ベクトル積 r P × F f を計算した上で求めよ．
[7] 微小要素についての角運動量方程式の z 成分を，問 [4] と [6] の結果を踏まえて示せ．
[8] 問 [7] で示した角運動量方程式を 0 ≤ r ≤ l の範囲で r について積分すると，剛体としての角運動量方
程式となる．これを求めよ．
提出期限
1 月 7 日（水）13:00
R10

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