誤差を含んだ収縮射影法による共通不動点近似

誤差を含んだ収縮射影法による共通不動点近似
東邦大学・理学部木村泰紀 (Yasunori Kimura)
Faculty of Science, Toho University
1 はじめに
非拡大写像族の共通不動点近似は, 多くの非線形問題に応用され, 研究がすすめられて
いる分野の一つである.
近似点列の生成方法には多くの種類があるが, 本稿では 2008 年に Takahashi, Takeuchi,
Kubota によって証明された, Hilbert 空間における非拡大写像族の共通不動点近似法 [5]
に焦点を絞ることにする. この手法は収縮射影法と呼ばれ, Banach 空間や Hadamard 空
間など, さまざまな空間への拡張がなされている. 次の定理は Hadamard 空間の一つの例
である実 Hilbert 球上での収縮射影法に関する結果である.
定理 1 (Kimura [3]). (B, ρ) を実 Hilbert 球, {Ti : i ∈ I} を B からそれ自身への非拡
大写像の列, F を {Ti } の共通不動点集合とし, F は空でないと仮定する. {αn (i) : i ∈
I, n ∈ N} を [0, 1] の数列で各 i ∈ I に対して lim inf n→∞ αn (i) < 1 をみたすとする.
x ∈ B に対して点列 {xn } を次のようにして生成する. x1 = x, C0 = B とし, 任意の
n ∈ N に対して
yn (i) = αn (i)xn ⊕ (1 − αn (i))Ti xn for each i ∈ I,
{
}
Cn = z ∈ B : sup ρ(z, yn (i)) ≤ ρ(z, xn ) ∩ Cn−1 ,
i∈I
xn+1 = PCn x
とする. このとき {xn } は PF x ∈ B に収束する. ここで, PK は X から空でない閉凸集
合 K への距離射影である.
Key words and phrases. Approximation, fixed point, error, shrinking projection method, metric
projection.
2010 Mathematics Subject Classification. 47H09.
1
また, 最近の成果では, 点列を帰納的に計算していく際の誤差を考慮した上で, 誤差が累
積しない点列生成方法が得られている [4]. この定理は Hilbert 空間におけるものである
が, 本稿ではこれを Hadamard 空間上で定義された 2 つの非拡大写像について適用する
ことを試みた.
2 準備
(X, d) を距離空間とする. x, y ∈ X と l ≥ 0 に対し, c : [0, l] → X が x, y を端点とす
る測地線であるとは, c(0) = x および c(l) = y であり, さらに任意の s, t ∈ [0, l] に対して
d(c(s), c(t)) = |s − t|
をみたすことをいう. 任意の 2 点に対してそれらを端点とする測地線が存在するとき,
X を測地距離空間という. 測地距離空間において 2 点間を結ぶ測地線は, 一般には唯
一とは限らないが, 本稿で扱う Hadamard 空間においては, その条件から測地線の一意
性がつねに成り立つ. 以下では測地線の一意性を仮定し, x, y ∈ X を端点とする測地線
c : [0, l] → X の像を [x, y] であらわす.
測地距離空間の点 x, y, z ∈ X に対して, これらを頂点とする三角形 △(x, y, z) を
△(x, y, z) = [x, y] ∪ [y, z] ∪ [z, x] で定義する. 2 次元 Euclid 空間の点 x, y, z ∈ R2
が d(x, y) = ∥x − y∥R2 , d(y, z) = ∥y − z∥R2 , d(z, x) = ∥z − x∥R2 をみたすとき,
△(x, y, z) ⊂ R2 を △(x, y, z) ⊂ X の R2 における比較三角形という. ただし, x =
(x1 , x2 ) ∈ R2 に対して
∥x∥R2 =
√
x21 + x22
である. 測地距離空間の三角形 △(x, y, z) ⊂ X とその比較三角形 △(x, y, z) ⊂ R2 を考
える. 点 p ∈ △(x, y, z) に対しては自然な意味で △(x, y, z) 上に対応する点 p がある.
すなわち, 例えば p ∈ [x, y] のときは, d(x, p) = ∥x − p∥R2 , d(y, p) = ∥y − p∥R2 をみた
す唯一の点 p ∈ [x, y] が p に対応する点であり, これを p の比較点という. 測地的空間
X 上に任意の三角形 △(x, y, z) ⊂ X とその比較三角形 △(x, y, z) ⊂ R2 をとったとき,
p, q ∈ △(x, y, z) とそれぞれの比較点 p, q ∈ △(x, y, z) ⊂ R2 に対して不等式
d(p, q) ≤ ∥p − q∥R2
がつねに成り立つならば, X は CAT(0) 空間と呼ばれる. とくに, 完備な CAT(0) 空間を
Hadamard 空間という.
2
X を Hadamard 空間とする. 任意の 2 点 x, y ∈ X と t ∈ [0, 1] に対して d(x, z) =
(1 − t)d(x, y) および d(y, z) = td(x, y) をみたす [x, y] 上の点 z を tx ⊕ (1 − t)y とあら
わし, x と y との凸結合という. X の部分集合 C が凸であるとは, 任意の x, y ∈ C に対し
て [x, y] ⊂ C が成り立つことである. Hadamard 空間上の点 x, y, z と t ∈ [0, 1] に対して,
不等式
d(tx ⊕ (1 − t)y, z)2 ≤ td(x, z)2 + (1 − t)d(y, z)2 − t(1 − t)d(x, y)2 .
がつねに成り立つ.
Hadamard 空間 X の空でない閉凸部分集合 K を考える. 任意の x ∈ X に対して
d(x, K) = inf d(x, y)
y∈K
と定義するとき, ある yx ∈ K が一意に存在して d(x, yx ) = d(x, K) が成り立つことが知
られている. この yx ∈ X を用いて, yx = PK x によって定義される写像 PK : X → K を
K への距離射影という. 集合列と距離射影に関する次の重要な性質が知られている.
定理 2 (Kimura [3]). X を Hadamard 空間とする. X の空でない閉凸部分集合列 {Cn }
が空でない閉凸部分集合 C0 に ∆-Mosco 収束するとき, 任意の x ∈ X に対して点列
{PCn x} は PC0 x に強収束する.
∆-Mosco 収束については [3] で定義されているが, 典型的な例としては, 包含関係に関
する減少列がその共通部分に収束することが知られている. すなわち, {Cn } が
C1 ⊃ C2 ⊃ C3 ⊃ · · · ⊃ Cn ⊃ · · ·
をみたすとき, {Cn } は
∩∞
k=1
Ck に ∆-Mosco 収束する.
測地距離空間, CAT(κ) 空間, および Hadamard 空間に関する詳細は [1, 2] 等を参照
せよ.
3 誤差を含んだ共通不動点近似
本節で紹介する定理は, 二つの非拡大写像に対して, その共通不動点を近似する点列を
生成する定理である. 計算の仮定で発生する誤差を考慮するにあたり, 誤差が 0 に収束す
るとは限らないが十分に小さい場合について, 点列がある種の望ましい性質をもつことを
示している.
3
定理 3. X を有界な Hadamard 空間とし, D = diam X = supx,y∈X d(x, y) とする. ま
た, 任意の u, v ∈ X に対し, {z ∈ X : d(v, z) ≤ d(u, z)} は凸集合であると仮定する.
S, T を X 上の非拡大写像とし, 共通不動点集合 F = F (S) ∩ F (T ) は空でないとする.
{αn } を, ある a, b ∈ R に対して 0 < a ≤ αn < b < 1 をみたす実数列とし, {ϵn } を
ϵ0 = lim supn→∞ ϵn < ∞ をみたす非負実数列とする. u ∈ X に対し, 点列 {xn } ∈ X を
次のように定義する. x1 ∈ X を d(x1 , u) < ϵ1 をみたすようにとり, C1 = X とし, さら
に n ∈ N に対して
yn = αn Sxn ⊕ (1 − αn )T xn ,
Cn+1 = {z ∈ C : d(yn , z) ≤ d(xn , z)} ∩ Cn ,
xn+1 ∈ Cn+1 such that d(xn+1 , u)2 ≤ d(u, Cn+1 )2 + ϵ2n+1
とする. このとき,
(
√
D(1 − a)
lim sup d(xn , Sxn ) ≤ 2 ϵ0 +
ϵ0
a
n→∞
(
)
√
Db
lim sup d(xn , T xn ) ≤ 2 ϵ0 +
ϵ0
1−b
n→∞
)
,
が成り立つ. さらに ϵ0 = 0 のときは, {xn } は PF u に収束する.
この定理の証明手法は [4] をもとにしたものである.
証明. 任意の n ∈ N に対して Cn が閉であることは明らかであり, 凸であることも定理
の仮定からわかる. そこで, 任意の n ∈ N に対して Cn が F ⊂ Cn をみたすことを帰
納法によって示す. 明らかに F ⊂ C1 = X であり, x1 は与えられた点であるから定義
されている. j ∈ N に対して C1 , C2 , . . . , Cj が F を含んでいると仮定し, この仮定の下
で Cj+1 も F を含むことを示そう. F が空でないことから Cj も空ではなく, したがっ
て d(xj , u)2 ≤ d(u, Cj )2 + ϵ2j をみたす xj ∈ Cj をとることができる. これによって yj ,
Cj+1 もそれぞれ定義される. z ∈ F とすると, S と T はそれぞれ非拡大なので
d(yj , z)2 = d(αj Sxj ⊕ (1 − αj )T xj , z)2
≤ αn d(Sxj , z)2 + (1 − αj )d(T xj , z)2
≤ αn d(xj , z)2 + (1 − αj )d(xj , z)2
= d(xj , z)2
4
となり, さらに F ⊂ Cj であることから F ⊂ Cj+1 が成り立つ. よって任意の n ∈ N に対
して F ⊂ Cn , すなわち
F ⊂
が成り立つことが示された. C0 =
∩∞
n=1
∞
∩
Cn
n=1
Cn とし, 各 n ∈ N に対して wn = PCn u としよ
う. {Cn } は包含関係に関して減少列となっているので, 定理 2 より {wn } は w0 = PC0 u
に収束する. また, 距離射影の定義より, 任意の n ∈ N に対して
d(xn , u)2 ≤ d(u, Cn )2 + ϵ2n = d(u, wn )2 + ϵ2n
が成り立つ. xn ∈ Cn かつ wn = PCn u ∈ Cn であり, Cn は凸であることから, τ ∈ ]0, 1[
に対して τ xn ⊕ (1 − τ )wn ∈ Cn である. よって
d(wn , u)2 ≤ d(τ xn ⊕ (1 − τ )wn , u)2
≤ τ d(xn , u)2 + (1 − τ )d(wn , u)2 − τ (1 − τ )d(xn , wn )2
となり
(1 − τ )d(xn , wn )2 ≤ d(xn , u)2 − d(wn , u)2 ≤ ϵ2n
を得る. τ → 0 とすると, d(xn , wn )2 ≤ ϵ2n となり, したがって d(xn , wn ) ≤ ϵn が成り
立つ.
ここで, 各 n ∈ N に対して δn = d(wn , w0 ) とすると limn→∞ δn = 0 であり, また
w0 ∈ C0 であることから任意の n ∈ N に対して
d(yn , w0 ) ≤ d(xn , w0 ) ≤ d(xn , wn ) + d(wn , w0 ) ≤ ϵn + δn
が成り立つ. z ∈ F と n ∈ N に対して
d(yn , z)2 = d(αn Sxn ⊕ (1 − αn )T xn , z)2
≤ αn d(Sxn , z)2 + (1 − αn )d(T xn , z)2 − αn (1 − αn )d(Sxn , T xn )2
≤ d(xn , z)2 − αn (1 − αn )d(Sxn , T xn )2
より
αn (1 − αn )d(Sxn , T xn )2 ≤ d(xn , z)2 − d(yn , z)2
= (d(xn , z) + d(yn , z))(d(xn , z) − d(yn , z))
≤ 2Dd(xn , yn )
≤ 2D(d(xn , wn ) + d(wn , w0 ) + d(w0 , yn ))
≤ 2D(ϵn + δn + ϵn + δn )
≤ 4D(ϵn + δn )
5
となる. したがって
d(yn , Sxn )2 = (1 − αn )2 d(Sxn , T xn )2
1 − αn
≤ 4D
(ϵn + δn )
αn
1−a
≤ 4D
(ϵn + δn ),
a
および
d(yn , T xn )2 = αn2 d(Sxn , T xn )2
αn
≤ 4D
(ϵn + δn )
1 − αn
b
≤ 4D
(ϵn + δn )
1−b
が成り立つ. よって任意の n ∈ N に対して
d(xn , Sxn ) = d(xn , wn ) + d(wn , w0 ) + d(w0 , yn ) + d(yn , Sxn )
√
1−a
(ϵn + δn )
= ϵn + δn + ϵn + δn + 2D
a
(
)
√
D(1 − a)
= 2 ϵn + δn +
(ϵn + δn )
a
および
d(xn , T xn ) = d(xn , wn ) + d(wn , w0 ) + d(w0 , yn ) + d(yn , T xn )
√
b
= ϵn + δn + ϵn + δn + 2D
(ϵn + δn )
1−b
(
)
√
Db
= 2 ϵn + δn +
(ϵn + δn )
1−b
を得る. さらに n → ∞ とすると
(
√
D(1 − a)
lim sup d(xn , Sxn ) ≤ 2 ϵ0 +
ϵ0
a
n→∞
(
)
√
Db
lim sup d(xn , T xn ) ≤ 2 ϵ0 +
ϵ0
1−b
n→∞
が得られる.
6
)
,
次に後半部分を示そう. 上の結果に ϵ0 = 0 を適用すると
lim d(xn , Sxn ) = lim d(xn , T xn ) = 0
n→∞
n→∞
が得られる. S, T はともに非拡大なので連続写像であり,
lim sup d(xn , wn ) ≤ lim sup ϵn = ϵ0 = 0
n→∞
n→∞
と limn→∞ d(wn , w0 ) = 0 より {xn } は w0 = PC0 u に収束するから,
d(w0 , Sw0 ) = d(w0 , T w0 ) = 0,
すなわち, w0 ∈ F = F (S) ∩ F (T ) である. よって, F ⊂ C0 であることから
d(u, PF u) ≤ d(u, w0 ) = d(u, PC0 u) ≤ d(u, PF u)
より w0 = PF u が得られ, 定理は示された.
この結果は有限個の非拡大写像族 {T1 , T2 , . . . , Tn } に対するものにまで拡張することが
可能である. しかしながら, 写像が 3 つ以上になる場合, それらの凸結合を用いた点列生
成では, 例えば
yn = αn T1 xn ⊕ (1 − αn )(βn T2 xn ⊕ (1 − βn )T3 xn )
のような, 各写像に対して非対称な形を用いることになる. これは, Hadamard 空間にお
ける 3 点以上の凸結合を 2 点間における定義を繰り返し用いることで実現していること
に起因する. このような形を用いた場合, 上の定理の拡張は整った形の不等式で得られて
おらず, さらなる研究が必要である.
参考文献
[1] M. R. Bridson and A. Haefliger, Metric spaces of non-positive curvature,
Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of
Mathematical Sciences], vol. 319, Springer-Verlag, Berlin, 1999.
[2] K. Goebel and S. Reich, Uniform convexity, hyperbolic geometry, and nonexpansive mappings, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics,
vol. 83, Marcel Dekker Inc., New York, 1984.
[3] Y. Kimura, Convergence of a sequence of sets in a Hadamard space and the shrinking projection method for a real Hilbert ball, Abstr. Appl. Anal. (2010), Art. ID
582475, 11.
7
[4]
, Approximation of a common fixed point of a finite family of nonexpansive
mappings with nonsummable errors in a Hilbert space, J. Nonlinear Convex Anal.
15 (2014), 429–436.
[5] W. Takahashi, Y. Takeuchi, and R. Kubota, Strong convergence theorems by hybrid
methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces, J. Math. Anal.
Appl. 341 (2008), 276–286.
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