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解析学 D 自習用問題 No.7 略解
（2014.12.12 掲載）
(1) (i)
y0 (x) ≡ 1,
∫
∫
x
y1 (x) = 1 +
x
ay0 (t) dt = 1 +
∫
y2 (x) = 1 +
a dt = 1 + ax,
∫
0
0
x
x
ay1 (t) dt = 1 +
0
0
1
a(1 + at) dt = 1 + ax + a2 x2 , . . .
2
であるので，
∑ (ax)k
1
1
1
yn (x) = 1 + ax + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn =
2!
3!
n!
k!
k=0
n
であることが，数学的帰納法を用いて示すことができる．
n
∞
∑
(ax)k ∑ (ax)k
(ii) y(x) = lim yn (x) = lim
=
= eax であり，これが初期値問題の
n→∞
n→∞
k!
k!
k=0
k=0
解であることは容易に示される．
∫ x
(2) h(x) = C −
f (t)g(t) dt とおくと，仮定より f (x) ≤ h(x) (∀x ∈ [a, x0 ]) が成立す
x0
る．このとき
h (x) = −f (x)g(x) ≥ −h(x)g(x)
であるから，
(
(∫
exp
)
x
)
g(t) dt h(x)
(∫
(x ∈ [a, x0 ])
)
x
= exp
g(t) dt (h (x) + g(x)h(x))
x0
x0
≥ 0 (x ∈ [a, x0 ])
が成立する．従って x ∈ [a, x0 ] に対して
(∫ x
)
(∫
exp
g(t) dt h(x) ≤ exp
)
x0
g(t) dt h(x0 )
∫ x0
= h(x0 ) = C −
f (t)g(t) dt = C
x0
x0
x0
である．これより
( ∫
f (x) ≤ h(x) ≤ C exp −
)
x
x0
g(t) dt
(∫
)
x
g(t) dt
= C exp
x0
(x ∈ [a, x0 ]).
(3) u, v の共通の定義域が (c1 , c2 ) または (c1 , c2 ] または [c1 , c2 ) または [c1 , c2 ] であると
する（ただし c1 = −∞, c2 = ∞ である場合も含む）．x > a のときに u(x) > v(x) であ
ることのみ示す．x < a のときに u(x) < v(x) であることも同様である．
u (a) = f (a, u(a)) = f (a, b) > g(a, b) = g(a, v(a)) = v (a) であることと u , v の連続
性から，ある δ > 0 が存在して x ∈ [a, a + δ] ならば u (x) > v (x) が成立する．従って
x ∈ (a, a + δ] ならば
∫ x
∫ x
u(x) = u(a) +
u (t) dt = b +
u (t) dt
a
∫a x
∫ x
>b+
v (t) dt = v(a) +
v (t) dt = v(x)
a
a
である．
ここで m = sup{t ∈ (a, c2 ) | u(x) > v(x) (∀x ∈ (a, t]} とおくと，m は well-defined で
ある（特に m ≥ a + δ である）．示すべきことは m = c2 である．
m < c2 であると仮定する．f, g の連続性より u(m) = v(m) である．x < m ならば
u(x) > v(x) であるので，
u(x) − u(m)
v(x) − v(m)
≤ lim
= v (m)
x→m−0
x→m−0
x−m
x−m
u (m) = lim
が成立する（分母は負であることに注意）．しかし，u (m) = f (m, u(m)) = f (m, v(m)) >
g(m, v(m)) = v (m) であるから矛盾である．従って x > a では u(x) > v(x) であることが
示された．
(4) u, v はそれぞれ次の積分方程式
∫ x
∫
u(x) = α +
f (t, u(t)) dt, v(x) = β +
0
x
f (t, v(t)) dt (∀x ∈ [0, T ])
0
を満たす．辺々引くと，任意の x ∈ [0, T ] に対して
∫ x
|u(x) − v(x)| = α − β +
(f (t, u(t)) − f (t, v(t))) dt
0
∫ x
≤ |α − β| +
|f (t, u(t)) − f (t, v(t))| dt
0
∫ x
≤ |α − β| +
L|u(t) − v(t)| dt
0
が成立する．Gronwall の補題より，任意の x ∈ [0, T ] に対して
(∫ x
)
|u(x) − v(x)| ≤ |α − β| exp
L dt = eLx |α − β|.
0

(5) y1 = y, y2 = y , . . . , yn = y (n−1)
y1
y2
..
.







は
とおくと，y = 




yn−1 
yn

y2
y3
..
.






dy 
 =: g(x, y)

=

dx 

 yn 
f (x, y)
を満たすことは講義で示した．また，初期条件 y(x0 ) = c を満たすこともわかる．
f が D 上で連続であるので g : D → Rn も連続である．また，任意の (x, u), (x, v) ∈ D
に対して


u 2 − v2


u 3 − v3




.


..
g(x, u) − g(x, v) = 



un − vn


f (x, u) − f (x, v)
√
= (u2 − v2 )2 + (u3 − v3 )2 + · · · + (un − vn )2 + (f (x, u) − f (x, v))2
√
√
≤
u − v 2 + (L u − v )2 = 1 + L2 u − v
であるから，g は D 上で y に関する局所 Lipschitz 条件を満たす．従って，講義で紹介
した定理が適用できる．

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