4月28日実施ぶつかり稽古解答［1］実数の連続性から，実数 x ≥ 0 に

４月２８日実施ぶつかり稽古解答
［１］
実数の連続性から，実数 x ≥ 0 に対して y 2 = x となるような実数 y ≥ 0 が唯一つ存在することが従う．
√
√
√ √
このとき，y = x と表わす．さらに，実数 a, b ≥ 0 に対して ab = a b が成立する．しかし，ここで
√
√
√
√
の計算では −1 の意味が明らかでないし，公式 ab = a b の適用範囲を逸脱している．
√
補足．複素函数論では，z ∈ C に対して w2 = z となる w ∈ C をまとめて z で表わす．したがって，
√
√
√
0 = 0 であるが，z ̸= 0 なら z は 2 価である．例えば， −1 = ±i．
［２］
(1) a が 1 以外の正の実数，M が正の実数であるとき，実数の連続性から，ar = M となるような実数 r が
唯一つ存在することが従う. r を loga M で表わす.
(2) µ = loga M , ν = loga N とおく. このとき，定義から M = aµ , N = aν . したがって，指数法則から，
M N = aµ+ν , M α = aαµ . これから，loga M N = µ + ν = loga M + loga N , loga M α = αµ = α loga M を
得る.
［３］
(1) α = a + bi (a, b ∈ R) に対して α
¯ = a − bi と定義する．
(2) α = a + bi, β = c + di (a, b, c, d ∈ R) とすれば，α
¯ = a − bi, β¯ = c − di．したがって、
α
¯ + β¯ = (a + c) − (b + d)i, α
¯ β¯ = (ac − bd) − (bc + ad)i
一方，
α + β = (a + c) + (b + d)i, αβ = (ac − bd) + (bc + ad)i
なので，
α + β = (a + c) − (b + d)i, αβ = (ac − bd) − (bc + ad)i
(3) α = a + bi (a, b ∈ R) とおく．α ∈ R なら b = 0，したがって，α
¯ = α．逆に，α
¯ = α なら a − bi = a + bi，
したがって，−b = b，したがって，b = 0．これから，α ∈ R．
(4) 複素共役は和積を保つので，
f (α) = a0 αn + a1 αn−1 + · · · + an−1 α + an = a0 α
¯ n + a1 α
¯ n−1 + · · · + an−1 α
¯ + an
ここで，a0 , a1 , . . . , an ∈ R なので，
a0 = a0 , a1 = a1 , . . . , an−1 = an−1 , an = an
したがって，
a0 α
¯ n + a1 α
¯ n−1 + · · · + an−1 α
¯ + an = a0 α
¯ n + a1 α
¯ n−1 + · · · + an−1 α
¯ + an
これから，f (α) = 0 なら f (¯
α) = f (α) = 0．
［４］
(1) f (x) + f (y) = f (x + y) に x = y = 0 を代入して f (0) + f (0) = f (0) を，さらに，両辺から f (0) を差
し引いて f (0) = 0 を得る．
(2) f (x) + f (y) = f (x + y) に y = −x を代入して f (x) + f (−x) = f (0) を得る．ここで，(1) から f (0) = 0
なので，f (x) + f (−x) = 0．したがって，両辺から f (x) を差し引いて f (−x) = −f (x) を得る．
(3) n ∈ Z とする．n > 1 なら，仮定から
f (n) = f (1 + 1 + · · · + 1) = f (1) + f (1) + · · · + f (1) = nf (1) = na
{z
}
|
|
{z
}
n
n
1
したがって，n < 0 なら，(2) と併せて
f (n) = −f (−n) = −(−n)a = na
を得る．次に，m, n ∈ Z, n > 0 とする．このとき，
( m)
(m m
(m)
m)
f (m) = f n
=f
+
+ ··· +
= nf
n
n {z
n}
n
|n
n
(m)
(m) m
= ma．両辺を n で割って f
= a を得る．
n
n
n
以下，f が連続であると仮定する．x ∈ R とすれば，有理数列 {xk }k≥0 が存在して x = lim xk と表わ
ここで，f (m) = ma なので，nf
k→∞
せる．このとき，f が連続なので，
f (x) = f ( lim xk ) = lim f (xk ) = lim axk = a lim xk = ax
k→∞
k→∞
k→∞
k→∞
を得る．
研究．a ∈ C とする．正の整数 n に対して
an = aa
· · · a}
| {z
n
と定義する．さらに，a ̸= 0 のとき，
1
an
と定義する．このとき，任意の n, m ∈ Z に対して指数法則
a0 = 1, a−n =
an+m = an am , (an )m = anm
が成立する．
a を正の実数，n を正の整数とする．このとき，bn = a となるよな正の実数 b が唯一つ存在する．b =
と記す．さらに，r ∈ Q とすれば，r = m/n (n, m ∈ Z, n > 0) と表わせる．
ar =
√
n
am
と定義する．このとき，任意の r, s ∈ Q に対して指数法則
ar+s = ar as , (ar )s = ars
が成立する．さらに，α ∈ R とすれば，α は有理数列 {rk }k≥0 の極限 lim rk として表わせる．
k→∞
α
a = lim a
rk
k→∞
と定義する．このとき，任意の α, β ∈ R に対して指数法則
aα+β = aα aβ , (aα )β = aαβ
が成立する．
(
1 )n
e = lim 1 +
と定義する．loge a を log a と略記する．任意の α ∈ R に対して
n→∞
n
aα = eα log a
2
√
n
a
が成立する．さらに，任意の実数 x に対して
ex =
∞
∑
xk
k=0
k!
が成立する．
複素函数としての指数函数を
ez =
∞
∑
zk
k=0
k!
によって定義する．任意の z, w ∈ C に対して指数法則
ez+w = ez ew
が成立する．
a ∈ C, a ̸= 0 とする．
az = ez log a
と定義する．w = az は多価函数．z = n (n ∈ Z) なら，az は an に他ならない．また，z = m/n (n, m ∈ Z,
√
n > 0) なら，az は n 価函数 n am に他ならない．
研究．Q 線型空間 R の基底を Hamel 基底とよぶ．S を 1 を含む Hamel 基底とする．このとき，

1 (s = 1)
f (s) =
0 (s ̸= 1)
によって Q 線型写像 f : R → R を定義すれば、f (x) は ax (a ∈ R) の形には表わせない．
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