京大 94年数学

京大数学
京大
灘進学教室
９４年
A, B , C , E
数学
（すべて類題）
は２行２列の行列で、
(1)
A B = B A ならば B = p A + q E
(2)
A B = B A, AC = C A
(3)
A B = B A, B2 = E
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A=
1 1
2 0
となる実数
p, q
が成り立つならば、 B C
を満たす行列
B
1 0
, E=
0 1
とする。
が存在することを示せ。
=CB
が成り立つことを示せ。
をすべて求めよ。
【答案】
B = p A+qE
(1)
B= a b
c d
とすると
A2
∴
...
A2 = A + 2 E
...
②
B2 = p2 ( A + 2E ) + 2 p q A + q2 E
= p ( p + 2 q ) A + ( 2 p2 + q2 ) E
... ①
... ②
B2 = E
条件
... ③
①、②が成り立つとき
A 2E = O
①、②より
各要素を比べて
2a = c + 2d
が存在するから
ケーリー・ハミルトンの定理より
1 1 a b = a b 1 1
c d 2 0
2 0 c d
a + c b + d = a + 2b a
2a
2b
c + 2d c
a=b+d
p, q
B 2 = ( p A + q E ) 2 = p 2 A2 + 2 p q A + q 2 E
A B = B A ならば
c = 2b
となる実数
③も成り立つ
より
p ( p + 2 q ) A + ( 2 p2 + q2 ) E = E
...
③
p ( p + 2 q ) 0 とすると
このとき
B = b+d b =b 1 1 +d 1 0 =bA+d E
2b d
2 0
0 1
2 p2 + q2 1
A=
E
p( p + 2q)
となり、
よって
p=b, q=d
とすれば
B = p A+qE
となる実数
A が E の定数倍でないことに反する
よって
p , q が存在する
p( p + 2q) = 0
...
④
③より
(2)
A B = B A, AC = C A
ならば
(1)の結果より
( p , q) = ( 0 , ±1) ,
が存在する
このとき
BC = ( p A + q E )(r A + s E )
= p r A2 + ( p s + q r ) A + q s E
C B =(r A + s E )( p A + q E )
= p r A2 + ( p s + q r ) A + q s E
よって
(3)
A B = B A より
...
⑤
④、⑤より
B = p A+qE
C = r A+ sE
となる実数 p , q , r , s
BC = C B
2 p2 + q2 = 1
が成り立つ
±2, µ1
3
3
ゆえに
B=± 1 0 , ±1 1 2
0 1
3 4 1
（複号同順）
①
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（すべて類題）
２
n は０または正の整数とする。 a n
an
を３で割った余りを
bn
(1)
b 0 , .... , b 9
(2)
c n+8 = c n + c 7
(3)
3
n + 1≦ c n ≦ ( n + 1)
2
とし、
を
a0 =1,
a1 = 2 ,
c n = b 0 + .... + b n
a n + 2 = a n +1 + a n
によって定める。
とおく。
を求めよ。
であることを示せ。
が成り立つことを示せ。
３
0 < s < 1 , 0 < t < 1 を満たす実数とし、
線分ＡＢを s : 1 s に内分する点をＥ、線分ＡＣを t : 1 t に内分する点をＦ、線分ＡＤを t : 1 t に内分する点をＧ
とおく。３点Ｅ、Ｆ、Ｇを通る平面が、３点Ｂ、Ｃ、Ｄを通る円と共有点を持つために s , t の満たすべき条件を求め、
点 ( s , t ) の存在範囲を平面上に図示せよ。
正四面体の４つの頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとする。
s, t
を
４
x y 平面上で、３点Ａ ( 1 , 0 ) 、Ｂ ( 1 , 0 ) 、Ｐ ( t , 2 t 2 + 1 ) を考え、∠ＡＰＢの二等分線と x 軸との交点をＱとする。
ＱB
t がすべての実数値を動くとき、
の最大値、最小値を求めよ。
AＱ
５
Ａ、Ｂ、Ｃの３人が色のついた札を１枚ずつ持っている。
はじめに、Ａ、Ｂ、Ｃの持っている札の色はそれぞれ赤、白、青である。
Ａがさいころを投げて。３の倍数の目が出たらＡはＢと持っている札を交換し、
その他の目が出たらＡはＣと札を交換する。
この試行を n 回繰り返した後に、赤い札をＡ、Ｂ、Ｃが持っている確率を、それぞれ
(1)
n≧2
(2)
an
のとき、 a n
, bn , c n
を an 1 ,
bn 1 , c n
1
a n , bn , c n
とする。
で表せ。
を求めよ。
６
が０から
2
まで変化するとき、点
(1)
この曲線の全長
(2)
この曲線の
極限値
lim
n
L
n
cos 2 , 2 sin
sin 2 )
を求めよ。
0≦ ≦
n
P( ) = ( 2 cos
n
の部分の長さが
を求めよ。
L
n
となるように
n
を定めるとき、
の描く曲線を考える。

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