数学 22 NO. 〈解答〉 １ 茨 ４ （４６－ x ） 芋 ９ ５本 ２ 茨 ９か所 １ 芋 １ ３ ６ １ m≦１ 芋 － ≦ ４ ８ １ ３ 茨 a＝－ ，b＝６ ２ ２０ 鰯 ３ 配点 各２点 １４点満点 〈解説〉 １ 茨 赤色のペンを入れた袋の数を x 袋とすると，ペンを入れた袋の合計の数が４６袋であっ たことから，青色のペンを入れた袋の数は（４６－ x ）袋と表せる。 赤色のペンを１袋に３本ずつ入れていくと，赤色のペンが１本余ったことから，赤色の ペンの本数は，x を用いて， （３x ＋１）本 と表される。また，青色のペンを１袋に４本ずつ入れていくと，青色のペンが３本余った ことから，青色のペンの本数は，x を用いて， ｛４（４６－ x ）＋３｝本 と表される。以上より，最初にあったペンの総数（１６ ５本）について，次のような方程式が 成り立つ。 ３x＋１＋４ （４ ６－ x ）＋３＝１６５ 芋 方程式３x＋１＋４ （４６－ x ） ＋３＝１６５を解くと， ３x＋１＋１８４－４x＋３＝１６５ ３x－４x＝１６５－１－１８４－３ － x＝－２３ x＝２ ３ したがって，最初にあった赤色のペンの本数は ３×２３＋１＝７０ 〔本〕 青色のペンの本数は ４×（４ ６－２３） ＋３＝９５ 〔本〕 となり，これらは問題に合う。 ２ 茨 ２回目の移動後，数直線上の点Ｐの位置は，下の表のようになる。 ２ 回 目 １ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ０ ４ ０ ６ －２ ２ ０ －２ ２ －２ ４ －４ １回目 ３ ４ ５ ４ ０ ６ ２ －２ ４ ６ ２ ８ ２ －２ ４ ８ ４ １０ ０ －４ ２ ６ －２ －４ ０ －４ ２ －６ したがって，－６，－４，－２，０，２，４，６， ８，１０の９か所である。 芋 サイコロを２回投げる場合の数は ６×６＝３６ 〔通り〕 で，茨の解説の表より，点Ｐが数直線上の負の範囲にある場合の数は１１通りである。よっ て，その確率は １ １ ３ ６ ３ ア のグラフの y 切片は６である。よって，b＝６ 茨 点Ａ （０，６）は y 軸上の点なので，関数碓 ア の式は となり，関数碓 y＝ a x＋６ ア のグラフ上の点なので，y＝ a x＋６に x＝１２，y＝０を とおける。点Ｂ （１ ２，０） も関数碓 代入して， ０＝１ ２a＋６ これを解いて， a＝－１ ２ 芋 点Ｍは点Ｏ （０，０）と点Ａ （０，６）の中点なので，その座標は ０ ０＋６ M ０＋ ２ ， ２ ＝（０，３） （ ） ア の式であ また，点Ｐの x 座標は４，点Ｑの x 座標は８なので，x＝４，８をそれぞれ関数碓 る y＝－１ x＋６に代入して， ２ y＝－１ ×４＋６＝４ ２ １ y＝－ ×８＋６＝２ ２ よって，Ｐ （４，４），Ｑ （８，２）である。 点Ｍを通る直線は，点Ｑを通るときに傾きが最も小さくなり，点Ｐを通るときに傾きが最 も大きくなる。したがって，mの最小値は １ ２－３ ８－０＝－ ８ また，mの最大値は ４－３ １ ４－０＝ ４ 以上より，mの値の範囲は １ １ － ≦ ８ m≦ ４ となる。 鰯 右の図のように，x 軸を対称の軸として点Ｑの対 称点Ｑ' をとると，Ｑ（８，－ ' ２）である。ここで，点Ｓ は x 軸上の点なので， ＰＳ＋ＳＱ＝ＰＳ＋ＳＱ' となり，ＰＳ＋ＳＱ' の長さは，３点Ｐ，Ｓ，Ｑ' が一直線 上にあるときに最も短くなる。 点Ｐ，Ｑ' を通る直線の式を y＝ c x＋ dとおき，点Ｐの 座標より x＝４，y＝４を代入すると， ４＝４c＋ d …① 点Ｑ' の座標より x＝８，y＝－２を代入すると， －２＝８c＋ d …② ①，②を連立方程式として解くと， ３ c＝－ ，d ＝１ ０ ２ ３ 点Ｓは x 軸上の点なので，直線 y＝－ ０に y＝０を代入すると， ２ x＋１ ３ x＋１ ０＝－ ０ ２ これを解いて， ０ x＝２ ３ ０ よって，点Ｓの x 座標は２ ３である。
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