数学 19 NO. 〈解答〉 １ 茨 芋 ３６ ０人 x＝ y＋７ ２ ２ y＝ （ x＋ y ） ５ ｛ ３ ２ 茨 １ ０通り 芋 ５ ６３ ３ 茨 a＝４８ 芋 鰯 １２ ５ 配点 各２点 １４点満点 〈解説〉 １ 茨 徒歩で通学している生徒数を x 人，自転車で通学している生徒数を y 人とすると， 徒歩で通学している生徒数は自転車で通学している生徒数より７２人多いので， x＝ y＋７２ …① ２ 自転車で通学している生徒数は全校の生徒数の 倍で， 全校の生徒数は（ x＋ y ） 人と表さ ５ れるので， ２ y＝ （ x＋ y ） …② ５ 芋 茨の①，②を連立方程式として解くと， ①を②に代入して， ２ y＝ （ y＋７２＋ y ） ５ ２ y＝ ２y＋７ ２） ５（ ５y＝２ （２y＋７２） ５y＝４y＋１ ４４ y＝１４ ４ y＝１ ４４を①に代入して， x＝１４ ４＋７２ ＝２１ ６ 以上より，徒歩で通学している生徒数は２１６人，自転車で通学している生徒数は１４４人とな り，これらは問題に合う。 したがって，全校の生徒数は ２ １６＋１４ ４＝３６ ０ 〔人〕である。 ２ 茨 a＞ bとなる a ，bの組み合わせは， （a ，b ） ＝（２，１） ，（３，１）， （４，１） ，（５，１）， （３，２） ，（４，２） ，（５，２） ， （４，３） ，（５，３） ， （５，４） の１ ０通りである。 芋 Ａ×Ｂの値が奇数になるのは，Ａ，Ｂがともに奇数のときである。また，Ａ＝ a＋ b ，Ｂ ＝ a－ bなので，Ａ，Ｂがともに奇数になるのは，a ，bのうちの一方が奇数でもう一方が 偶数のときである。 茨で書き出した１０通りのうち，一方が奇数でもう一方が偶数であるのは， （a ，b ）＝（２，１） ，（４，１）， （３，２）， （５，２）， （４，３）， （５，４） の６通りである。したがって，求める確率は， ３ ６＝ となる。 １ ０ ５ ３ ３ ア のグラフ上の点なので，関数碓 ア の式である y＝ xに x＝８を代入して， 茨 点Ａは関数碓 ４ ３ y＝ ４ x×８ ＝６ よって点Ａの座標は（８，６）となる。 a イ のグラフ上の点でもあるので，関数碓 イ の式である y＝ に x＝８， また，点Ａは関数碓 x y＝６を代入して， a ６＝８ これを解いて， a＝４ ８ ア の式である 芋 点Ｐの y 座標が１５なので，関数碓 ３ y＝ ４ xに y＝１５を代入して， ３ １５＝ ４x これを解いて， x＝２ ０ よって，点Ｐの x 座標は２０である。 ８に イ の式である y＝４ 点Ｑの x 座標も２０なので，関数碓 x x＝２０を代入して， ８ y＝４ ２ ０ ２ ＝１ ５ 線分ＰＱの長さは，点Ｐ，Ｑの y 座標の差になるので， ２ ＰＱ＝１５－１ ５ ３ ＝６ ５ 鰯 △ＡＰＱと△ＡＰＲにおいて，辺ＡＰは共通な辺なので，これを底辺とすると，△ＡＰＱと ア のグラフとの距離は等しい。 △ＡＰＲの高さは等しい。つまり，頂点Ｑ，Ｒと関数碓 ア のグラフに平行な直線と x 軸との交点 以上より，点Ｒは，△ＡＰＱの頂点Ｑを通って関数碓 になる。 イ の式である y＝４８ x＝１６を代入して， 点Ｐ，Ｑの x 座標が１６なので，関数碓 xに ８ y＝４ １６ ＝３ したがって，点Ｑの座標は（１ ６， ３）である。 ３ ３ 平行な直線は傾きが等しいので，点Ｑを通って傾きが である直線の式を y＝ ４ ４ x＋ bと おき，点Ｑの座標より x＝１６，y＝３を代入すると， ３ ３＝ × ４ １６＋ b これを解いて， b＝－９ ３ よって，直線 y＝ x－９の式に y＝０を代入して， ４ ３ ０＝ ４ x－９ これを解いて， x＝１２
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