Answer8

2014 年度制御工学 I 第 8 回レポート (模範解答)
1
2014 年度制御工学 I 第 8 回レポート (模範解答)
4 年 E 科番号
[問題 1] 4 章演習問題【2】
また，定常速度偏差 es2 も最終値の定理を用いること
図 1 のフィードバック系において
P (s) =
1
,
(s + 2)(s + 1)
氏名
K(s) =
により次式となる。
2
s
es2 = =
=
とする。このとき，まず d(t) = 0 として，目標値 r(t)
に対する定常位置偏差と定常速度偏差を計算せよ。つ
ぎに r(t) = 0 として，ステップ外乱 d(t) = 1 およびラ
=
ンプ外乱 d(t) = t を加えたときの y(t) の定常値を計算
=
せよ。
lim Ger (s)r(s) = lim s · Ger (s)r(s)
t→∞
s→0
3
2
1
s + 3s + 2s
·
s3 + 3s2 + 2s + 2 s2
s2 + 3s + 2
lim 3
s→0 s + 3s2 + 2s + 2
1
lim s ·
s→0
(1-6)
次に，r(t) = 0 として，ステップ外乱 d(t) = 1 およ
びランプ外乱 d(t) = t を加えたときの y(t) の定常値を
d
r
K(s)
u
y
P(s)
求める。ステップ外乱 d(t) = 1 から出力 y(t) までの伝
達関数 Gyd は
u(s) = −K(s)y(s)
図 1: フィードバック系
(1-7)
y(s) = P (s)(d(s) + u(s))
の関係から以下のように求まる。
【解答】
d(t) = 0 として目標値 r(t) に対する定常位置偏差を
求める。偏差 e(s) を
e(s) = r(s) − y(s)
y(s) = P (s)d(s) − P (s)K(s)y(s)
(1 + P (s)K(s))y(s)
= P (s)d(s)
P (s)
· d(s) (1-8)
y(s) =
1 + P (s)K(s)
(1-1)
よって，外乱 d(t) から出力 y(t) までの伝達関数 Gyd (s)
とし，偏差 e(s) と y(s) の関係
y(s) = P (s)K(s)e(s)
(1-2)
から，目標値 r(s) から偏差 e(s) までの伝達関数 Ger (s)
は，次のように求められる。
Gyd (s)
=
は以下のように求まる。
e(s) =
(1 + P (s)K(s))e(s) =
e(s)
=
r(s)
=
P (s)
1 + P (s)K(s)
s
s3 + 3s2 + 2s + 2
r(s) − P (s)K(s)e(s)
よって，ステップ外乱 d(t) = 1 に対する定常値は，次
r(s)
式となる。
1
1 + P (s)K(s)
(1-3)
lim Gyd (s)d(s)
t→∞
=
1
=
1 + P (s)K(s)
1+
=
1
1
2
(s+2)(s+1) s
s3 + 3s2 + 2s
s3 + 3s2 + 2s + 2
(1-4)
lim Gyd (s)d(s)
t→∞
定常位置偏差 es1 は，最終値の定理を用いることに
=
=
s→0
1
s3 + 3s2 + 2s
·
= lim s · 3
s→0
s + 3s2 + 2s + 2 s
= 0
=
=
lim Ger (s)r(s) = lim s · Ger (s)r(s)
t→∞
=
(1-5)
lim s · Gyd (s)d(s)
s→0
lim s ·
s→0
0
s3
+
1
s
·
+ 2s + 2 s
(1-10)
3s2
となる。また，ランプ外乱 d(t) = t に対する定常値は，
より次式となる。
es1
=
=
よって，伝達関数 Ger (s) は次のようになる。
Ger (s) =
(1-9)
となる。
lim s · Gyd (s)d(s)
s→0
1
s
·
s3 + 3s2 + 2s + 2 s2
1
lim
s→0 s3 + 3s2 + 2s + 2
1
(1-11)
2
lim s ·
s→0
2014 年度制御工学 I 第 8 回レポート (模範解答)
[問題 2] 4 章演習問題【3】
2
(2) y(t) の定常値 ys は次のように計算することがで
図 2 のフィードバック系において
P (s) =
きる。
2
, K(s) = 2
(s + 2)2
ys = lim y(t) = lim sy(s)
t→∞
(2-6)
s→0
とする。このとき，つぎの問いに答えよ。
目標値 r(t) = 2，外乱 d(t) = 4 をラプラス変換を
(1) この系では y(s) = Gyr (s)r(s) + Gyd (s)d(s) とい
う関係が成り立つ。伝達関数 Gyr (s) と Gyd (s) を
すると
L[r(t)] =
求めよ。
(2) ステップ状の目標値と外乱 r(t) = 2，d(t) = 4 が
同時に加わったとき，y(t) の定常値を計算せよ。
r
K(s)
u
【解答】
=
(1) 図 1 から次の式が成立する。
y(s) = ((r(s) − y(s))K(s) + d(s))P (s)
⇒ (1 + P (s)K(s))y(s) = P (s)K(s)r(s) + P (s)d(s)
P (s)
P (s)K(s)
r(s) +
d(s)
⇒ y(s) =
1 + P (s)K(s)
1 + P (s)K(s)
(2-1)
2
，K(s) = 2 を代入する
(s + 2)2
ことにより，
=
=
P (s)
1 + P (s)K(s)
=
=
1
2
(s+2)2 2
2
+ (s+2)
22
=
4
s2 + 4s + 8
1
2
(s+2)2
2
+ (s+2)
22
s2
2
+ 4s + 8
4
(s + 2)2 + 4
(2-2)
=
2
(s + 2)2 + 4
(2-3)
(2-1) 式は，
y(s) =
s2
4
2
r(s) + 2
d(s)(2-4)
+ 4s + 8
s + 4s + 8
となる。よって，y(s) = Gyr (s)r(s) + Gyd (s)d(s)
と比較して，Gyr (s)，Gyd (s) は
Gyr (s) =
となる。
4
2
, Gyd (s) = 2
(2-5)
s2 + 4s + 8
s + 4s + 8
4
s
lim sy(s)
s→0
s→0
となる。
P (s)K(s)
1 + P (s)K(s)
(2-7)
lim s(Gyr (s)r(s) + Gyd (s)d(s))
4
2
2
· + 2
= lim s 2
s→0
s + 4s + 8 s s + 4s + 8
4
2
=
·2+ ·4
8
8
= 2
図 2: フィードバック系
(2-1) 式に P (s) =
4
s
が同時に加わったとき定常値は，
=
y
P(s)
L[d(t)] =
となる。よって，目標値 r(s) = 2s ，外乱 d(s) =
ys
d
2
,
s
4
·
s
(2-8)

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