x + y

１０格子点
n を正の整数とする。連立不等式


x+y+z ≦n




−x + y − z ≦ n

x−y−z ≦n




−x − y + z ≦ n
をみたす xyz 空間の点 P (x, y, z) で、x, y, z がすべて整数であるものの個数を f (n) と
f (n)
おく。極限 lim
を求めよ。
n→∞ n3
解法１
x + y + z ≦ n …[1]
−x + y − z ≦ n …[2]
x − y − z ≦ n …[3]
−x − y + z ≦ n …[4]
[1] かつ [4] より − (n − z) ≦ x + y ≦ n − z …[5]
[2] かつ [3] より − (n + z) ≦ x − y ≦ n + z …[6]
[5], [6] をみたす実数 x, y が存在するための条件は
n − z ≦ 0 かつ n + z ≦ 0 すなわち − n ≦ z ≦ n…[7]
[7] をみたす任意の整数 z に対して、[5], [6] をみたす整数 x, y の組の個数を g(z) と
する。g(z) を求める。
一般に、x, y が整数となるためには x + y, x − y がともに偶数であるか、またはと
もに奇数であることが必要十分である。
（必要性）x, y の偶奇の場合分けによって容易に示される。
（十分性）x+y = k, x−y = j の偶奇が一致するとき、x = (k +j)/2, y = (k −j)/2 は
整数となる。
よって、x + y = k, x − y = j とおくと、[5], [6] をみたす x, y がともに整数とな
る k, j の組は、次の (i) または (ii) のそれぞれの場合における k と j の値の任意の
組み合わせである。
(i)k = −(n − z), −(n − z) + 2, −(n − z) + 4, …, −(n − z) + 4, …, n − z(= −(n −
z) + 2(n − z))
j = −(n + z), −(n + z) + 2, −(n + z) + 4, …n + z(= −(n + z) + 2(n + z))
(ii)k = −(n − z) + 1, −(n − z) + 3, …, n − z − 1(= −(n − z) + {2(n − z) − 1})
j = −(n − z) + 1, −(n + z) + 3, …, n + z − 1(= −(n + z) + {2(n + z) − 1})
(k, j) の異なる組からは、(x, y) の異なる組が得られるので、g(z) は、(i), (ii) それぞ
れにおける k, j の値の組の個数の和である。
g(z) = (n − z + 1)(n + z + 1) + (n − z)(n + z) = 2n2 + 2n + 1 − 2z 2
これより
1
f (n) =
n
∑
g(z) =
z=−n
n
∑
(2n2 + 2n + 1 − 2z 2 )
z=−n
2
= (2n + 1)(2n2 + 2n + 1) − n(n + 1)(2n + 1)
3
1
2
= (2n + 1)(4n + 4n + 3)
3
f (n)
1
1
4
3
8
ゆえに lim
= lim (2 + )(4 + + 2 ) = …（答）
n→∞ n3
n→∞ 3
n
n n
3
解法２
（[7] までは解法１に同じ）
(i) 平面 z = k(k は 0 ≦ k < n となる整数）で [5], [6] をみたす (x, y) の存在範囲 D は
下図の斜線部（境界を含む）である。
この D に含まれる格子点の個数を考える。
直線 x = i(−k ≦ i ≦ k) 上の D 内の格子点の個数は
2(n − k) + 1
直線 x = i(k + 1 ≦ i ≦ n) 上の D 内の格子点の個数は
2(n − k) + 1 − 2(i − k) = 2n + 1 − 2i
よって D 内の格子点の個数は
n
∑
{2(n − k) + 1}(2k + 1) + 2
(2n + 1 − 2i)
i=k+1
= 2n(2k + 1) − (2k − 1)(2k + 1) + 2
n
∑
{2(n − i) + 1}
i=k+1
= 2n(2k + 1) − 4k + 1 + 4
2
n−k−1
∑
j + 2(n − k)
j=0
= 2n(2k + 1) − 4k 2 + 1 + 2(n − k − 1)(n − k) + 2(n − k)
= 2n2 + 2n + 1 − 2k 2 …（＊）
(ii)k = n のとき
[5], [6] をみたす x, y の存在範囲 D は下図の太線部となり、D 内の格子点の個数
2
は 2n + 1 であって、これは（＊）で k = n としたものに一致する。
(iii) − n ≦ k ≦ −1 のとき
上記 (i), (ii) と同じように考えて、D 内の格子点の個数は（＊）となる。
n
∑
(2n2 + 2n + 1 − 2k 2 )
以上より、f (n) =
k=−n
（以下解法１に同じ）
3

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