位相空間の連続写像 1 準備

位相空間の連続写像
1 準備
一般の位相空間上の写像についての連続性を考える. まずは位相空間の定義を確認しておく.
定義 1
(位相空間)
集合 X と, X の部分集合族 (部分集合の集合)O の組 (X, O) が位相空間であるとは, 次の 3 性質を満たすこ
とを云う.
(i) 空集合 ∅ と全体集合 X はともに O に属する.
∩
(ii) O の有限個の元 O1 , . . . , On の共通部分 ni=1 Oi も O に属する.
∩
(iii) O の任意個 (無限個も可) の元 {Oλ }λ∈Λ の和集合 λ∈Λ Oλ も O に属する.
このとき, 部分集合族 O は集合 X の開集合系であると云う. 位相空間 (X, O) を単に X と書くこともある.
位相とは開集合系を定めることによって定まる数学的構造のことを指す.
さて, 一般の位相空間の連続写像を定義する前に, Rn 上の連続関数と距離空間上の連続写像の定義をみる.
Ω ⊂ Rn 上の関数の連続性は次のように定義するのが最もポピュラーであろう.
定義 2 (Rn 上の連続関数)
Ω ⊂ Rn とする. 関数 f : Ω → Rm が点 a ∈ Ω で連続であるとは, 次をみたすことを云う.
∀
ϵ > 0 ∃ δ > 0 s.t. |x − a| < δ ⇒ | f (x) − f (a)| < ϵ
また, f が Ω 上で連続であるとは, Ω 上の任意の点で f が連続であることを云う.
R 上の連続関数は距離空間の連続写像の特別な場合に過ぎないが, R の連続関数のイメージを距離空間の
n
n
連続写像のイメージとしてもっていることは決して損にはならない.
距離空間上の写像の連続性の定義の前に, まずは距離空間の定義を確認しておく.
定義 3
(距離空間)
集合 X と写像 d : X × X → R の組 (X, d) が距離空間であるとは, 写像 d が次の 3 性質を満たすことを
云う.
(i) d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(ii) d(x, y) = d(y, x)
(非退化)
(対称性)
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
(劣加法性)
このとき, 写像 d を距離空間 (X, d) の距離と云う. また, a ∈ X, r > 0 に対し, Ur (a) := { x ∈ X | d(a, x) < r}
を点 a の r 開近傍 (または単に近傍) と云う. 距離空間 (X, d) を単に X と書くこともある.
距離の定義に非負値性 d(x, y) ≥ 0 を定義に含めることもあるが, 非負値性は上の 3 性質から次のようにして
導くことができる: 任意の x, y ∈ X に対し, 0 = d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x) = 2d(x, y) だから両辺 2 で割って
d(x, y) ≥ 0 を得る.
1
命題 4
(距離空間の位相)
次の (∗) をみたす距離空間 X の部分集合 U 全部の族 O を開集合系として, (X, O) は位相空間となる.
(∗): 任意の x ∈ U に対し, ある r > 0 が存在して Ur (a) ⊂ U をみたす.
距離空間 (X, d) は今定めたように自然に位相空間 (X, O) となる. 距離空間を考えるときは, この位相をもっ
て開集合が定まっているものとする.
通常, 距離空間上の連続写像は次のように定義される.
定義 5 (距離空間上の連続写像)
(X, d1 ), (Y, d2 ) を距離空間とする. 写像 f : X → Y が点 a ∈ X で連続であるとは, 次をみたすことを云う.
∀
ϵ > 0 ∃ δ > 0 s.t. d1 (x, a) < δ ⇒ d2 ( f (x), f (a)) < ϵ
また, f が X 上で連続であるとは X 上の任意の点で f が連続であることを云う.
d : R × R → R; (x, y) 7→ |x − y| なる写像 d を考えれば, d は R 上の距離であり, (R, d) は距離空間である.
n
n
R 上の連続関数は距離空間 (R, d) の連続写像の定義をそのまま適用しただけであることが分かる. なお, この
n
距離空間 (R, d) によって自然に定まる Rn の位相を, Rn の自然な位相という.
2 位相空間の連続写像
さて, 一般の位相空間上の連続写像はどのように定めればよいのだろうか. 一般の位相空間には距離が定義
されていないので, 位相空間の連続性を定義する際に距離空間の連続性の定義をそのまま採用することはでき
ない.
この節では位相空間の連続性を定義するが, そのために次の定理 6 が重要である.
定理 6
距離空間 (X, d1 ), (Y, d2 ) と写像 f : X → Y に対し, 次の (i), (ii) は同値である.
(i) f は Ω 上で連続.
(ii) 任意の開集合 O ⊂ Y に対し, f −1 (U) ⊂ X は開集合.
定理 6 が証明されれば, 距離空間の連続性を距離を用いずに開集合という位相空間の概念を用いて記述する
ことができる. すなわち, 位相空間上の写像の定義を定理 6 の (ii) とすれば, 距離空間上の写像の連続性と矛盾
することなく位相空間上の写像に連続性を定義できる.
定理 6 の証明の前に次の命題 7 が成り立つことを示しておく. 集合論の立場から見れば, 連続性の定義を命
題 7 の (ii) としておく方が扱いやすい. なお, 「微分積分学」(笠原晧司著, サイエンスライブラリ) では Rn 上
の関数の連続性をも命題 7 の (ii) のように定義している. (この本に位相の話は載っていないので注意)
命題 7
距離空間 (X, d1 ), (Y, d2 ) と写像 f : X → Y に対し, 次の (i), (ii) は同値である.
(i) f は a ∈ X で連続.
(ii) ∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 s.t. f (Uδ (a)) ⊂ Uϵ ( f (a))
2
[命題 7 の証明]
[(i) ⇒ (ii)] 仮定 (i) より
∀
ϵ > 0 ∃ δ > 0 s.t. d1 (x, a) < δ ⇒ d2 ( f (x), f (a)) < ϵ
が成り立つ. すなわち, x ∈ Uδ (a) ならば f (x) ∈ Uδ ( f (a)) が成り立つ. ここで, 任意に y ∈ f (Uδ (a)) をとると, あ
る x ∈ Uδ (a) が存在して y = f (x) をみたす. よって, y ∈ Uδ ( f (a)) となって Uδ (a) ⊂ Uϵ ( f (a)) が成り立つ. した
がって, (ii) が示された.
[(ii) ⇒ (i)]
∀
仮定 (ii) より
ϵ > 0 ∃ δ > 0 s.t. f (Uδ (a)) ⊂ Uϵ ( f (a))
が成り立つ. すなわち, 任意の y ∈ f (Uδ (a)) は y ∈ Uϵ ( f (a)) をみたす. また, ある x ∈ Uδ (a) が存在して y = f (x)
をみたすので, f (x) ∈ Uϵ ( f (a)) をみたす. よって, d1 (x, a) < δ ⇒ d2 ( f (x), f (a)) < ϵ が成り立つ. したがって,
(i) が示された. [定理 6 の証明]
[(i) ⇒ (ii)] 任意の開集合 U ⊂ Y をとり, f −1 (U) が開集合であることを示す. a ∈ f −1 (U) より f (a) ∈ U で,
U は開だから
∃
ϵ > 0 s.t. Uϵ ( f (a)) ⊂ U
(1)
をみたす. 仮定 (i) より f は Ω 上で連続, よって点 a で連続なので, 上の ϵ に対し,
∃
δ > 0 s.t. f (Uδ (a)) ⊂ Uϵ ( f (a))
(2)
が成り立つ. (1), (2) より, f (Uδ (a)) ⊂ U であるから, Uδ (a) ⊂ f −1 (U) を得る. よって, f −1 (U) の任意の点に
f −1 (U) に含まれるような開近傍が存在する. したがって, (ii) が示された.
[(ii) ⇒ (i)]
任意の a ∈ Ω をとり, a で f が連続であることを示す. 任意の ϵ > 0 に対し, Uϵ ( f (a)) ⊂ Y は開な
ので, 仮定 (ii) より f −1 (Uε ( f (a))) ⊂ Ω も開である. さらに, a ∈ f −1 (Uϵ ( f (a))) であるから, ある δ > 0 が存在し
て f −1 (Uε ( f (a))) に含まれる:
∃
δ > 0 s.t. Uδ (a) ⊂ f −1 (Uε ( f (a)))
よって,
∀
ϵ > 0 ∃ δ > 0 s.t. f (Uδ (a)) ⊂ Uε ( f (a))
を得る. したがって, (i) が示された. 先にも述べたが, ここで重要なことは定理 7 の (ii) は距離空間でなくても一般の位相空間に通用するという
ことである. つまり, 一般の位相空間での連続の定義を定理 2 の (ii) により定めれば, すでに距離空間で定めて
いた連続の定義と矛盾しないことが分かる.
よって, 一般の位相空間における連続写像の定義は次のようにすれば良い.
定義 8
位相空間 X, Y に対し, 写像 f : X → Y が連続であるとは次の (∗) が成り立つことをいう.
(∗): 任意の開集合 U ⊂ Y に対し, f −1 (U) ⊂ X は開集合.
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したがって, 標語的に「開集合の連続写像による引き戻しは開集合」ということができる. また, 「閉集合の
連続写像による引き戻しは閉集合」が成り立つ. すなわち, 次の定理 9 が成り立つ.
定理 9
距離空間 (X, d1 ), (Y, d2 ) と写像 f : X → Y に対し, 次の (i), (ii) は同値である.
(i) f は Ω 上で連続.
(ii) 任意の閉集合 O ⊂ Y に対し, f −1 (U) ⊂ X は閉集合.
定理 9 の (ii) も位相空間の連続写像を特徴付ける. したがって, この定理 9 の (ii) を連続写像の定義とする
こともできる. しかし, 位相は開集合系を定めることによって定めることが多いので, 開集合に関する定理 6 の
(ii) を連続の定義とするのが自然であろう.
3 参考文献
1.「集合・位相入門」(松坂和夫, 岩波書店)
2.「集合と位相」(鎌田正良, 現代数学ゼミナール)
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