Title 弱ユークリッドアルゴリズムとローラン級数環について Author(s) 尼野, 一夫 Citation [岐阜大学教養部研究報告] no.[31] p.[239]-[245] Issue Date 1995-02 Rights Version 岐阜大学教養部数学教室 URL http://repository.lib.gifu-u.ac.jp/handle/123456789/3961 ※この資料の著作権は、各資料の著者・学協会・出版社等に帰属します。 岐阜大学教養部研究報告第31号 ( 1995) 239 弱ユ ー ク リ ッ ド ア ル ゴ リ ズ ム と ロー ラ ン級 数環 につ いて 尼野 一 夫 ・ 葛巻 孝子 岐阜大学教養部数学教室 ( 1994年10月11日受理) On weak E uclideり.n algorithms and skew L aurent pow er series r・ings K azuo A M A N O and T akako K U ZU M A K I A bstract L et R be an integral domain and c t an autom orphism of R . L et R [ [ x, x ¯ 1 : (y) ] be theskew L aurent powelTseriesring in which each element has a unique ret)resentation = O foralmostall positiveintegern and xl a二 ぴ1( a) xl 1 1 as 2 7a x1( i EZ) with a - n ln [21, K. Amano and T. Kuzumaki proved that R [ [x, x¯1 : c y] ] is euclidean ring if and only if R is euclidean ring. 0 n the other hand, G. E . Cooke in [ 3] defined the follow ing possibility and called R 2-stage euclidean ring : for any a, b ≒ O in R, there exist q, r, qへ が such that satisfying a= bq十r, N ( a) > O for a ≒ O and b= r(ど十rへ N ( r勺 < N ( b) , N ・( O) = 0. where N is a m ap Such a 2-stage euclidean ring is not euclidean in the usual sense and there are m any 2-stage euclidean rings in the rings of algebraic integers in number fields。 ln the present paper, we shall show that, if R is 2-stage euclidean ring, R [ [x, x¯1 : 刈 ] isalsoright 2-stage euclideanring andright principal ideal domain. §1 . 環 R を整域 と し, c yをその 自己同型写像 とす る. 文字 x と R の元 a と の積 を 尼野 240 一夫 ・ 葛巻 孝子 一 1 x a = び1( a)x l , i E Z と定義す れば, 形式的巾級数 X a iEZ ・ 1 f= x I ( 但 し, 殆 どすべての正の整数 nにつ いて a = O) が非可換整域 R [ [x, x¯1 : ,y] ] ( ローラ ン級数環という ) を作る. 尼野 ・ 葛巻 [2] は, R が右ユー ク リ ッ ド環な らば R [ [x, x¯1 : 刈 ] は右ユー ク リ ッ ド環であるこ と を証明し た. 一般に, 整域 Dが右ユー ク リ ッ ド環で ある と は, Dの各元 aに整列集合W の元 衣 a) が対応 し, D の 元 a, b ≒ Oが与 え ら れ た と き. a= bq十 r√ダ ( r) < g ( b) をみたす D の元 q, r が存在す る と き と定義す る. こ の場合, D のイ デア ルはすべて右単項 イ デア ル と な る. 左ユア ク リ ッ ド環 も同様に定義 さ れ, 右, 左ユー ク リ ッ ド環 を単にユー ク リ ッ ド環 と い う . 犬 他方, 単項 イ デア ル環 は必ず し もユー ク リ ッ ド環 と 限 ら な い こ と は良 く 知 ら れて い る. 十しか し , 単項イデアル環の中には, Dの各元 aに整列集合W の元 g( a) が対応 し, Dの元 a, b ≒ Oが与 え ら れた と き. a= bq十 r, (p ( r) < g ( b) ま た は. a 二 bq 十 r, b 二 r q什 r≒ 9 ( r勺 < p ( b) をみたす D の元 q, r, q≒ f が存在す る よ う なユー ク リ ッ ド環 と 異な る も のが あ る. こ の よ う な整域は弱ユー ク リ ッ ド環 と呼ばれ, G. E. Cooke[3] は実 2次体の整数環のなかに沢山 の例 を発見 し て いる( G. E. Cookeはそのよ う な環 を 2-stageeuclideanring と呼んで い る) . この小論では, Rが弱ユー ク リ ッ ド環のと きR [ [x, x¯1 : 刈 ] も弱ユー ク リ ッ ド環であ る こ と を 示 し, 非可換整域 の 中に も 弱ユー ク リ ッ ド環の存在す る こ と が初め て確認 さ れた の で, それ を報告す る. 一 1 27 i≧h に対 し て , a ・ 1 f= X ah ≒ 0 一 R [ [ X, X¯1 : 刈 ] か ら Rへの写像 ρを R [ [ X, X¯1 a §2 . 刈 ] の元 弱ユー ク リ ッ ドア ル ゴ リ ズム と ロー ラ ン 級数環 に つ いて ρ( f) 二 3 h 24 1 ρ( 0) ゜ 0 と定義す る. と の と き, 次の補題 を得 る. 補題 1. R [ [x, x¯1 : (y) ] の元 f, g≒ Oに対 して, f = 9 u, または, f = 9 u十 v, ρ (v) ≠ O (mod.・ρ(9) ) と表す こ と がで き る. [証明] f, g の最小次数を h, k とする. 先ず, ρ(f) = ρ(g) q十r と表 し, 自己同型写像 だ か ら こ の と き, ,yk 測まRの ( C) = q をみたす R の元 Cを選んでお く . V = f - g Cχ h- k と お け ば, v= ( ρ(f) T p (g) q) x h 十 high6r degree terms ト ニ r x h 十 h i g li e r d e g r e e t e r m s ■ 十 と表せ る. こ こ で, ρ( v) = r ≠ O ( mod. ρ( g) ) な らば証明は終わる. ρ. ( v) = r ≠ O ( m od. ρ( g) ) な らば ρ( v) = ρ(g卜(f と表 し , イ k( c勺 = (j をみたす R の元 (y を選 ん で お き, y = V - g (ダX 1- k と お く O は V の 最 小 次数 ) . ρ ( V勺 ≠ 0 (m od. ρ( g) ) な らばそ こ で終 り, ρ( v ) ≡ O(m od. ρ(g) ) な らばこ の操作 を続け る. この操作が有限回で終われば, f 二 g ( CX h- k + (ダ χ 二 1- k 十 ‥ ・ 十C( 11) χS¯ k ) 十V( り) (n) ρ(v ) ≠ O (m od. ρ( g) ) を得 る. こ の操作が無 限に続 く な らば, h- k U = C X + (ソ X I一k + ●●●+ C( 11) χS¯ k + ●●● と お け ば, f = gti を得 る. ■ §3 . N を R か ら Z へめ写像で N( a) > O ( a≒ O) , N ( O) = O を満 たす も の と し, R をN に関 し て 弱ユー ク リ ッ ド環 とす る. す な わ払 R の元 a√b ≒ 0 が与 え ら れた と き, a= bq十 r, N ( r) < N( b) また は, a 二 bq 十 r, b = r q汗 r≒ N ( 内 く N ( b) 尼野 242 一 夫 ・ 葛巻 孝子 をみたす R の元 q, r, q , r が存在す る も の とす る. R [ [x, x¯1 : 刈 ] から Zへの写像 N x を N (f) = N ( ρぐf) ) と定義す れば, 次の定 x 理 を得 る . 定理 2 . R [ ()( )(¯1 : ゛ ) ] は N XI に関 し て右弱ユニ ク リ ッ ド環であ る. [証明] R [ [x, x¯1 : 祠 ] の元 .ヶ f = ρ け ) x h 十 h i g h er d eg r ee te r m s, 六 大 g = ρ( g) x k 十 higher degree terms ( ≠¥O) いし ■ に対 し て, 補題 1 よ り, f = guな らば明らかに成 り立つ. f こ g・u十 v, β( v) ≠ O( mod. ρ( g) ) な ら ば N x( ゛ ) .< IN 友( g) の場合には成 り立つ. N x (v) ≧ N (g) の場合には, R は弱ユー ク リ ッ ド環だか ら次の 2通 りの場合が考え られ x る. a) : ρ( v) = ρ (g) q 十 r, N ( r) < N ( ρ(g) ) , ま た は, b) ρ(v) = ρ(g) q十 r, ρ(g) = rq 十 s, N (s) < N ( ρ( g) ) , を満たす Rの元 q, r, q≒ s が存在す る. い ま, と「 k( C) こ qな る R の元 Cを選び, V - gCX l k = V ( 1はVの最小次数) とおけ ば, . - -r. ■ f 二 gU十 V二 gU 十 gCX l¯ k 十 V心 g ( U 十 CX l¯ k) 十 Vy と 表せ る . こ こ で, a) の場合には, … … Nメ V勺 二N(ρ(V) - ρ(g) q) = N(r) く N(ρ(g) ) = N ゴg) と な り 定理 は成 り立つ . b) の場合には, X t ( C )== (f な る R の元 Cを選び, g T V CX 最小次数 ) とおけば, f= g ( U十 CX fχ k ¯ t g 二 y C I- k + ) 十昿 V″ k一t = V″ ( tは がの 弱ユ ー ク リ ッ ドア ル ゴ リ ズム と ロー ラ ン 級数環 につ いて 243 と表せ る. こ の と き, ρ( v″) ≒ Oで あ る. なぜな らば, ρ( v″) = Oとすれば, ρ( v勺 = r だか ら ρ( v″) = ρ( g) - ρ(v勺 (j = s= Oと な っ て, N( ρ( g) ) = N( rq勺 ≧ N ( r) である. 他方, 仮定 よ り N( r) ≧ N( ρ(g) ) だか ら N( q勺 = 1 とな り, q勺まR の単数 である. し たがっ て, r 二 ρ( g) (j ¯1 と表 さ れ, ρ(v) = ρ(g) (q十 q ¯1) と な る. これは最初の仮定 ρ( v) ≠ O( mod. ρ(g) ) に反す る. よ っ て, N §4 . X ( Vy) - N (S) < N ( ρ( g) ) 二 N X(g) が証明さ れ定理は成 り立つ. ■ R を代数体K の整数環 と し。 , を K のQ上の 自己同型写像 とす る。 測まR の 自己同型 写像で もあるから, ローラ ン級数環R [ [ X, X¯≒ 祠 ] が考え られる. RがK のノ ルム写像 ト ニ I NK/Q ¦ に関して弱ユ¬ グリ ッ ド環な らば, 定理 2 よ り R [ [X, X¯1 : 刈 ] も N X = N ・ ρに 関 し て 右 弱ユ ー ク リ ッ ド環 で あ る . ノ ルム写像 N はすべ て の R の元 a につ いて N( a) = N価 ( a) ) を満たすか ら, 次の命題 を得 る. 命題 3 N X(f9) [iE明] - N・X(f) N X(9) 。 (fg) = 。 (f) j l(。 (g)) ( hはfの最小次数) だから, NX(fg) 二N(ρ(fg)) 二N(ρ(f) j h(ρ(g))) = N ( ρ( f) ) No h(ρ ( g) ) ) 二N( ρ( f) ) N( ρ(g) ) 二 N X( f) N X・(g) ・ ■ Rがユー ク リ ッ ド環な らば, R [ [X, X¯1 々 ] ] は右ユー ク リ ッ ド環であ り [21, 右単項 イデ ア ル環 と な る. 同様な こ と は, N = N ・ ρ に関 し て右弱ユー ク リ ッ ド環 で あ る X R [ [X, X¯1 : 刈 ] について も成 り立ち, 次の定理 を得る. 定理 4 . N X 二N ・ ρに関 して右弱ユーク リ ッ ド環である R/[ [X・ X¯1 : 刈 ] は右単項イ デアル環で ある. [証明] R [ [X, X¯1 : (y) ] の右イデアルを I ( ≒ O) とする/ I の元 g を 尼野 244 N ( g) = m in l N と選んで お く . こ の と き, 一夫 ・ 葛巻 孝子 ( t) : tEI, t ≒ 叫 I の任意の元 f ≒ O につ いて, 0 < N ( g) ≦ N (f) で あ る. R [ [x, x¯1 : ,y] ] は右弱ユー ク リ ッ ド環であるから, 3 ) : f 7 即 十゛ N χ( ゛ ) < N χ(g) ま た は, ` ¥ … … … b) : f 二 gu十 v g 二 vty+ vへ N x( v勺 < N x(り を満たす R [ [文, x¯1 : (7) ] の元 u, v, uへ ず が存在する. ∧ づ づ ‥ ヶ b) の場合には, ず ≠ Oとすれば, ず = g ( 1 + 11u勺 T f uy は I の元で あっ て, 0 < N (゛ ) < ]N X( g) だか ら 二gの取 り方に反す る. し た力ぷ っ て, V/= び 一 ] ] である. 幽 a) の場合には, gの取 り方か ら v二 Oとな り, f こ gu. よっ て, fEg R [ [x, x¯1 X O で ある. この と き N 二(g) 二N ブ VU勺 ≧N ブ V). 他方, 9, V については仮定よ り N y g) ≦N ゴ V) が成 り立っ て いるか ら, N X ( VU ) = N ( V) と な る. よ っ て, 命題 3 か ら N X る , ゆ え に, U勺ま R [ [ X, X¯1 : 刈 ] の単数 で あ っ て , V ± g Uに 1 g (U十ざ¯1). よって, fEgR [[X, X¯1 : 刈] で`ある/ ダ ・ X (U ) = 1であ と表 さ れ るか ら f = 上 ム したがって丿いずれにして も I 二gR [ [X, X¯1 : (y) ] である. ・ [注意] [2] での構成を考えれば, R [ [X, X¯1 : g 7] ] は左弱ユー ク リ ッ ド環で もあ り左 単項 イ デ ア ル環 と な る. 犬 R eferenCeS [ 1] K. Aman0, 0n2-stageEuclideanring andLaurentseries, Bu11. 0f Fac. Gen. Educ. Gifu Univ., 29 ( 1986) , 83- 86. 二 [ 2] KムAmanoandT. Kuzumaki, =OnEuclidean algorithm and Laurent power seriesrjngs. ( appears in this Bulletin) . [ 3] G. E. Cooke, A weakening of the eudidean property for integral domains and ノ‥ 上appJicationsto algebraicnumber theory, I . J. ReinQAngew. M ath., 282( 1976) に 33- 156. [ 4 ] F. Dress, Stathmes eudidiens et series formelles, Acta Arith., XIX ( 1971) , 261- 265. [ 5] T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag 199J. . [ 6] H. W . Lenstra, Jr., Lectures on Euclidean rings, Bielefeld, 1974. [ 7] W . Narkiewicz, Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springgr- 弱ユー ク リ ッ ドア ル ゴ リ ズム と ロー ラ ン 級数環 につ いて 245 V erlag, 1990. [ 8] P. Samuel, About Euclidean Rings, J. Algebra 19 ( 1971) , 282- 301. [ 9] J. C. McConnell and J. C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, Wiley Series in Pure and A pplied M ath., John W iley & Sons, 1988. 上
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