2014 年度電磁気学同演習ベクトル解析宿題プリント 1 解答例担当：石榑，畑山 1. (1) 𝒓𝑃−𝒓𝑄 2 (2) 2. (3) aybz-azby 3. (7) 4 (8) 𝒓𝑃−𝒓𝑄 |𝒓𝑃−𝒓𝑄| (4) azbx-axbz (5) axby-aybx (6) |𝒂||𝒃|sin𝜃 -4 (9) 6i+9j-7k (10) -2i+7j-k (11) |𝒂 × 𝒃| = √62 + 92 + (−7)2 = √166 (12) (𝒂 × 𝒃) ∙ 𝒄 = (6𝒊 + 9𝒋 − 7𝒌) ∙ (𝒊 − 2𝒌) = 6 + 14 = 20 4. (1) (2) (3) 𝑚𝒊 − 𝑚𝒋 − 𝑚𝒌 あるいは 𝑚(𝒊 − 𝒋 − 𝒌) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MP = OP OM = 𝑝𝒊 − (𝑚𝒊 − 𝑚𝒋 − 𝑚𝒌) = (𝑝 − 𝑚)𝒊 + 𝑚𝒋 + 𝑚𝒌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑚𝒊 − 𝑚𝒋 − 𝑚𝒌) ∙ ((𝑝 − 𝑚)𝒊 + 𝑚𝒋 + 𝑚𝒌) = 𝑚(𝑝 − 3𝑚) = 0 OM より，𝑝 = 3𝑚 (4) よって，𝑚 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑚𝒊 + 𝑚𝒋 + 𝑚𝒌 MP 2 𝑝 3 半径 r の円なので 2 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(2 𝑝) + (𝑝) + (𝑝) = √6 𝑝 = 𝑟 |MP 3 3 3 3 (5) 同様にして，Q (0, 0, − ⃗⃗⃗⃗⃗ = − よって，PQ 3 √6 𝑟𝒊 − 3 √6 3 √6 𝑟), R (0, − よって𝑝 = 3 √6 𝑟𝒌 ⃗⃗⃗⃗⃗ PR = − 3 √6 𝑟 𝑟, 0)と求まる． 3 √6 3 𝑟𝒊 − √6 𝑟𝒋 2 (6) 𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ P における接線は，OP OM の方向になる．OP OM = (𝒋 − 𝒌) よって， 2 単位ベクトルは 1 √2 (𝒋 − 𝒌) 2 𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同様に Q における接線方向は，OQ OM = (−𝒊 − 𝒋) 2 単位ベクトルは 1 √2 (−𝒊 − 𝒋) 2 𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同様に R における接線方向は，OR OM = 2 (𝒊 + 𝒌) 単位ベクトルは 1 √2 (𝒊 + 𝒌) 5. y = 0 で A＝ z i+(－x－1) k y=1で A＝(z－1) i+(－1) k y = 0 y = 1 z 2 2 1 1 1 6. (1) F・r (2) F・t (3) F n = F- F・t t 𝒓 (4) 𝑭 ∙ |𝒓| z 2 x 1 2 x