解析学 IV 演習試験問題 No.2 2014.12.9 問題 1 集合 G = {(x, x) | x ∈ [0, 1]} は面積確定で |G| = 0 であることを示せ． (解答例) G を含む有界閉区間 K = [0, 1] × [0, 1] を取る．任意の ε > 0 を取り，n > 3/ε をみたす自然数 n をとる．K の分割 ∆ = {Ji,j | 1 ≤ i, j ≤ n} を Ji,j = [(i − 1)/n, i/n] × [(j − 1)/n, j/n] (1 ≤ i, j ≤ n) で定める．G の定義関数を 1G ，不足和，過剰和を R∗ [1G ; ∆], R∗ [1G ; ∆] で表すと， R∗ [1G ; ∆] = 0, R∗ [1G ; ∆] = n ∑ |Ji,i | + i=1 n−1 ∑ 3 3n − 2 < < ε. (||Ji,i+1 | + |Ji+1,i |) = 2 n n i=1 ∗ R [1G ; ∆] − R∗ [1G ; ∆] < ε だから 1G は K で可積分，よって G は面積確定． 0 ≤ R∗ [1G ; ∆] < ε より |G| = 0. 問題 2 集合 A = {(x, y) | 0 ≤ x, y ≤ 1, x, y ∈ Q} が面積確定でないことを A の定義関数を用いて示せ． (解答例) A を含む有界閉区間 K = [0, 1]×[0, 1] を取る．∆ = {Ji,j | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} を K の任意の分割とする．各 i, j に対して，有理数の稠密性および無理数の稠密性より，Ji,j ∩ A ̸= ∅, Ji,j ∩ Ac ̸= ∅ が成り立つ．これより R∗ [1A ; ∆] = 0, R∗ [1A ; ∆] = 1. ∆ は任意だから，R∗ [1A ] = 0, R∗ [1A ] = 1 となり 1A は可積分でない．よって，A は面積確定でない．(R∗ [1A ], R∗ [1A ] はそれぞれ 1A の下積分，上積分を表す．) 問題 3 ∫ 1 (∫ √ ) y sin x dx dy の積分順序を交換し，その積分値を求めよ．また，積分領域を x-y 平 −y 0 面に描け． √ (解答例) D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, − y ≤ x ≤ y}, E1 = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 0, − x ≤ y ≤ 1}, E2 = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1} とおく．D は第 1 軸方向に縦線集合，E1 , E2 は第 2 軸方向に縦線集合で面積確定かつ D = E1 ∪ E2 が成立つ．f (z) = sin x は z = (x, y) の連続関数で |E1 ∩ E2 | = 0 だから， ) ∫ ∫ ∫ ∫ 1 (∫ √y sin x dx dy = f (z) dz = f (z) dz + f (z) dz −y D E1 E2 0 ) ) ∫ 0 (∫ 1 ∫ 1 (∫ 1 = sin x dy dx + sin x dy dx −1 −x 0 x2 ∫ 0 ∫ 1 = (1 + x) sin x dx + (1 − x2 ) sin x dx = 2 − 2 cos 1 − sin 1. −1 y y = x2 1 -1 O 1x y = −x 0