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線形数学 II A 組–2 C 組–2
質問：
(1) 部分空間でないときの解答の書き方が分かりません．部分空間であることを示すと
きのプロセスに従ってしめしていこうとして，途中で部分空間でないことに気付いた
ら，その後の手順は省略してもいいんですか？あと，反例の書き方も分かりません．
(回答)：もちろん省略してください．部分空間でないことを示すためには，反例をあ
げるだけで証明になります．反例をあげるということは，ノート例 2.5 でやったよう
に，具体的にベクトルを書いて，和やスカラー倍をしたときに W の元でないことを
見てやればよいです．
(2) W1 ∩ W2 と W1 + W2 が Rn の部分空間であることの証明をやってみようと思いまし
たが出来ませんでした．
(回答)：自分で証明を試みようとしたことは，とても素晴らしいことだと思います．
W1 ∩ W2 が部分空間になることを証明してみましょう．定義を復習します：W1 ∩ W2 =
{x | x ∈ W1 かつ x ∈ W2 }．まず，o ∈ W1 ∩ W2 を示します．これは，何を示せばよ
いかというと，o が W1 ∩ W2 の元である条件 (集合の記述の中の { |
} の右側)
を満たしているかどうか調べればよいです．W1 は部分空間なので，部分空間の定義
から o ∈ W1 ．同様に，o ∈ W2 でもあります．つまり，o ∈ W1 かつ o ∈ W2 が言え
ました．よって，o ∈ W1 ∩ W2 ．次に加法について閉じていることを示してみます．
まず，W1 ∩ W2 から任意に二つの元をとってきます．それを a, b ∈ W1 ∩ W2 としま
しょう．a, b ∈ W1 ∩ W2 なのですから，a ∈ W1 かつ a ∈ W2 , b ∈ W1 かつ b ∈ W2
を満たしています．示すべきことは，a + b ∈ W1 ∩ W2 （これが，加法について閉
じていることの定義）です．つまり，a + b ∈ W1 かつ a + b ∈ W2 を示せばよいで
す．W1 も部分空間であり，加法について閉じていますから，a ∈ W1 ，b ∈ W1 つい
て a + b ∈ W1 が成り立っています．同様に，W2 についても，a + b ∈ W2 です．よっ
て，a + b ∈ W1 ∩ W2 が言えました．スカラー倍について閉じていることも同様に考
えてみてください．見やすく版書風にまとめると
定理 1. W1 , W2 を Rn の部分空間であるとする．そのとき，W1 ∩ W2 は Rn の部分空
間である．
証明. (1) 0 ∈ W1 ∩ W2 ．
∵ W1 , W2 は Rn の部分空間であるから，0 ∈ W1 かつ 0 ∈ W2 ．
(2) ∀a, b ∈ W1 ∩ W2 , (a ∈ W1 かつ a ∈ W2 , b ∈ W1 かつ b ∈ W2 ) に対して，
a + b ∈ W1 ∩ W2 ．
∵ W1 , W2 は Rn の部分空間であるから，それぞれ和について閉じている．よって，
a + b ∈ W1 かつ a + b ∈ W2 ．
(3) スカラー倍も同様に示してみてください．
和空間も同様に証明できます．和空間については教科書 [1]89 ページにも証明が載っ
ています．
(3) 宿題 2 の 1.(3) が難しかった．
(回答) 定義を直接，確認するという方法もありますが，和空間の考え方で解く方法も
1
あります．




 x1 + x2 x + y + 2z = 0,


 1
1
1
W =  y1 + y2 

 z + z 2y2 + 3z2 = 0 

1
2
が R3 の部分空間であることを示せという問題でした．

  


x

 1  
W1 =  y1  x1 + y1 + 2z1 = 0



 z 1

  


x
 2 
 
W2 =  y2  2y2 + 3z2 = 0


 z 
2
として，




 x1 + x2 x + y + 2z = 0,


 1
1
1
W =  y1 + y2 

 z + z 2y2 + 3z2 = 0 

1
2
    



x
x
2  1

    x1 + y1 + 2z1 = 0,
=  y1  +  y2 

2y2 + 3z2 = 0 
 z

z2 1
= W1 + W2 .
W1 , W2 が部分空間であることは示せると思いますし，解空間だから部分空間と言っ
てしまって構いません．部分空間の和空間は部分空間であることを使えばすぐに示
せます。
感想:
(1) 分からないことがあれば，その度に定義や定理を確認することの大切さが分かって
きました！
！
(この姿勢が，とても大切です．大学での数学は，この繰り返しによって世界が広がっ
ていくと思ってください．この先，かなり抽象的な対象も沢山あらわれてきます．そ
のたびに確認することが非常に大切です．友達に聞く前に教科書を開きましょう．)
参考文献
[1] 村上正康，佐藤恒雄，野澤宗平，稲葉尚志，
「教養の線形代数」，培風館，1977 年．
2

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