数学1A基礎No8

数学ⅠA基礎No８
(　)組(　)番　名前(　)　解説
解説
１ n =1 のとき　n は素数ではない。
2
５ 0 1 1　2a + 0 6 - b 1a -3b = 0 2a - b 10 a +3 1
n =2 のとき　n +2=4 は素数ではない。
0 2 1　(A) から　0 x -5 10 x +3 1 ( 0 よって　-3 (x( 5 …… ①
0 1 1 を利用して，(B) から　0 2x - k 10 x +3 1 ( 0
n =3 のとき　n =3 ，n +2=5 ，n +4=7 はすべて素数である。
3 以外の素数はすべて 3 で割り切れないから，n (n) 4) が素数であるとき，n =3k +1
または n =3k +2 (k は自然数) と表される。
k
4 1 5　<-3 すなわち　k <-6 のとき
2
[1]　n =3k +1 のとき
(B) の解は　n +2 = 0 3k +1 1 +2 =3k +3 =30 k +1 1
これがすべて ① を満たすことはないから，不適。
k +1 は 2 以上の自然数であるから，n +2 は素数ではない。
k
4 2 5　=-3 すなわち　k =-6 のとき
2
[2]　n =3k +2 のとき
n +4 = 0 3k +2 1 +4 =3k +6 =30 k +2 1
k +2 は 3 以上の自然数であるから，n +4 は素数ではない。
(B) の解は　x =-3 これは ① を満たす。
k
4 3 5　-3< すなわち　-6< k のとき
2
以上から，n，n +2 ，n +4 がすべて素数であるのは n =3 の場合だけである。
解説
(B) の解は　-3 (x(
２ f 0 x1 = x 2 -2ax + a +6 とする。
y = f 0 x1 のグラフは下に凸の放物線で，軸は直線 x = a である。
y
4 1 5 ～ 4 3 5 から　-6 (k( 10
a +6
ことである。
よって，f 0 x1 =0 の判別式を D とすると
F
解説
+
a
D
= 0 -a1 2 - 0 a + 61 > 0 …… ①
4
…… ②
f 0 01 = a + 6 > 0
…… ③
k
( 5 よって　k( 10
2
-6< k であるから　-6< k( 10
のグラフが，x 軸の負の部分と，異なる 2 点で交わる
軸について a < 0
k
2
これがすべて ① を満たすための条件は　(1)　異なる 2 つの負の解をもつための条件は，y = f 0 x1
k
(x( -3
2
６ (1)　辺の長さは正であるから　x 2 -2x >0 かつ　4- x >0
O x
よって　x <0 ，2< x <4 …… ①
U x 2 - 2x の辺が他の 2 辺より短くないから
U x 2 - 2x ) 4- x　…… ②，　U x 2 - 2x ) 2 …… ③
① から　0 a +21 0 a -31 >0
また，三角形の成立条件から　U x 2 - 2x < 0 4 - x 1 +2 …… ④
よって　a <-2，3< a　…… ④
③ から　a >-6　…… ⑤
② の両辺は正であるから，2 乗して　x 2 -2x) 16-8x + x 2
②，④，⑤ の共通範囲を求めて　-6< a <-2
よって　x)
(2)　すべての解が 1 より大きいための条件は，y = f 0 x1
y
③ の両辺は正であるから，2 乗して　x 2 -2x) 4
のグラフが x 軸の x >1 の部分と 2 つの共有点をもつ
か，または接することである。
ゆえに　x 2 -2x-4 ) 0 よって　x( 1-U 5 ，1+ U5 (x …… ③-
7- a
したがって
F
軸について a > 1
f 0 11 = 7 - a > 0
① から　0 a +21 0 a -31 ) 0
④ の両辺は正であるから，2 乗して　x 2 -2x < x 2 -12x +36
+
D
= 0 -a1 2 - 0 a + 61 ) 0 …… ①
4
8
…… ②3
O
a
18
…… ④5
よって　x <
x
1
…… ②
①，②-，③-，④- の共通範囲を求めて　1+ U 5 (x <
…… ③
(2)　⑤ のとき，4- x <2 ( U x 2 - 2x であるから，4- x の辺が最短となる。
よって，余弦定理により
よって　a( -2，3 (a　…… ④
③ から　a <7　…… ⑤
cos h =
②，④，⑤ の共通範囲を求めて　3 (a <7
解説
(3)　cos h =
３ 0 x +1 10 y +1 10 xy +1 1 + xy = 0 xy + x + y +1 10 xy + 1 1 + xy = 60 xy +1 1 + x +y 70 xy + 1 1 + xy
= 0 xy + 1 1 2 + 0 x + y 10 xy +1 1 + xy
3
2
2 2 + 0 x 2 - 2x1 - 0 4 - x 1 2
]
2 ･ 2 ･ U x 2 - 2x
x- 2
3
=
x
2
= 60 xy +1 1 + x 760 xy +1 1 + y 7 = 0 xy + x +1 10 xy + y +1 1
= 6 x･y + 0 x +1 1 760 x +1 1･y +1 7 = 0 xy + x +1 10 xy + y +1 1
3
2
]
よって，そのグラフは右の図のようになる。
y
4
ゆえに　C 0 t， - t +6t -51 0 1 (t ( 4 1
とすると D 0 t，t -1 1 である。
3
1
1
1
CD ･ 0 4 - t 1 + CD ･ 0 t-1 1
2
2
=
1
-t 2 +6t -51 - 0 t -1 17 ･3
2 60
2
] 0U
2
0U5 - 11
5 +11 0 U 5 - 11
3
x
4
AD BC EQ
=1
･
･
DB CE QA
12
12 1
3
△AEC=
△ABC
･ △ABC=
13
13 4
13
3
△ABC
13
よって　△PQR= △ABC- 0 △AQC+ △BRA + △CPB 1 =
C
4
△ABC
13
したがって　△PQR：△ABC=4：13
B
解説
８ (1)　n は奇数であるから，n =2m +1 (m は整数) と表される。
よって，△ABC の面積を S とすると
S =
5 +1
3 4 EQ
=1　よって　AQ：QE=12：1
･･
1 1 QA
ゆえに　△AQC=
y
4
U 5 -1 = 3
3 U 5 -1
3 5 - 11
= 0U
･
2
2
4
同様にして　△BRA= △CPB=
2
]U
B
3
直線 AB の方程式は y = x -1 であるから，
2
が最大になるときである。
x
７ △ABE と直線 CD にメネラウスの定理を適用すると　O
をD とする。
x- 2
x
解説
A
(2)　C から x 軸に下ろした垂線と，直線 AB の交点
]
2
01 + U 5 1 - 2 = 3
2
1+U 5
=
解説
と変形される。
60 x- 2 1
3
=
2
4U x0x - 2 1
したがって，⑤ の範囲で cos h は x =1+U 5 のとき最小になり，最小値は
= x0 x +1 1y 2 + 6 0 x +1 1 2 + x7 y + x +1
y =-0 x - 3 1 2 +4 0 1 (x ( 4 1
=
]1- x
よって，cos h が最小になるのは，
t　0 x +1 10 y +1 10 xy +1 1 + xy = 0 x +1 16 xy 2 + 0 x +1 1y +17 + xy
４ (1)　与えられた関数の式は
18
…… ⑤
5
D
よって　n 2 -1= 0 2m+ 1 1 2 -1 =4m 2+4m =4m0 m +1 1
A
O
1
t 3
4
m，m +1 は連続する 2 整数であるから，その積は 2 の倍数である。
x
したがって，n 2 -1 は 8 の倍数である。
(2)　n 5 - n = n0 n 4 -11 = n0 n 2 -11 0 n 2 +11 = 0 n -1 1n0 n +1 10 n 2 +11
3
=- 0 t 2 -5t +41 …… ①
2
n -1 ，n，n +1 は連続する 3 整数であるから，その積は 3 の倍数である。
3
△ABC の面積が 3 であるから，① より　- 0 t 2 -5t +41 =3
2
(3)　n 5 - n は n 2 -1 を因数にもつから，(1) より 8 の倍数である。
整理すると　t 2 -5t +6=0 これを解くと　t =2，3
これと (2) から，n 5 - n は 24 の倍数である。
これらは 1 (t( 4 を満たす。
よって，n 5 - n が 120 の倍数であることを示すには，5 の倍数であることを示せばよい。
よって，点 C の座標は　0 2，3 1，0 3，4 1
n は 5k，5k$1 ，5k$2 (k は整数) のどれかの形で表される。
したがって，n 5 - n は 3 の倍数である。
-1-
数学ⅠA基礎No８
(　)組(　)番　名前(　)　n 5 - n = 0 n -1 1n0 n +1 10 n 2 +11
[1]　n =5k のとき　n が 5 の倍数になる。
[2]　n =5k +1 のとき
n -1=5k であるから，n -1 が 5 の倍数になる。
[3]　n =5k -1 のとき
n +1=5k であるから，n +1 が 5 の倍数になる。
[4]　n =5k$ 2 のとき
n 2 +1= 0 5k $ 2 1 2 +1 =50 5k 2 $ 4k +11 (複号同順)
よって，n 2 +1 が 5 の倍数になる。
[1] ～ [4] から，n 5 - n は 5 の倍数である。
したがって，n 5 - n は 120 の倍数である。
t　2 つの整数 a，b について，a - b が正の整数 m の倍数であるとき，a6b (mod m)
と表す。
(1)　n は奇数であるから，n6$ 1 (mod 8)，n6$ 3 (mod 8) のいずれかが成り立つ。
(以下すべて複号同順)
n6$ 1 (mod 8) のとき　n 2 -160 $1 1 2 -1 =0 (mod 8)
n6$ 3 (mod 8) のとき　n 2 -160 $3 1 2 -1 =860 (mod 8)
ゆえに，いずれの場合も n 2 -1 は 8 の倍数である。
(2)　n60 (mod 3)，n6$ 1 (mod 3) のいずれかが成り立つ。
n60 (mod 3) のとき　n 5 - n60 5 -0 =0 (mod 3)
n6$ 1 (mod 3) のとき　n 5 - n60 $1 1 5 - 0 $1 1 =0 (mod 3)
ゆえに，いずれの場合も n 5 - n は 3 の倍数である。
(3)　(1)，(2) より，n 5 - n が 5 の倍数であることを示せばよい。
n60 (mod 5)，n6$ 1 (mod 5)，n6$ 2 (mod 5) のいずれかが成り立つ。
n60 (mod 5) のとき　n 5 - n60 5 -0 =0 (mod 5)
n6$ 1 (mod 5) のとき　n 5 - n60 $1 1 5 - 0 $1 1 =0 (mod 5)
n6$ 2 (mod 5) のとき　n 5 - n60 $2 1 5 - 0 $2 1 = $30 60 (mod 5)
ゆえに，いずれの場合も n 5 - n は 5 の倍数であるから，n 5 - n は 120 の倍数である。
解説
９ 4x 2 - y 2 +2x - y = 0 2x + y 10 2x - y 1 +2x - y
= 0 ア 2x + y + イ 11 0 ウ 2x - y1
x，y が正の整数であるとき，x) 1 かつ y) 1 より　2x + y +1 ) 4
また，0 2x + y +1 1 + 0 2x - y 1 =4x +1 (奇数) であるから，2x + y +1 と 2x - y の偶奇は
一致しない。
したがって，4x 2 - y 2 +2x - y =8 すなわち 0 2x + y +1 10 2x - y 1 =8 を満たすのは，
2x + y +1=8 かつ 2x - y =1 のときのみである。
これを解いて　x = エ 2 ，y = オ 3
解説
C
1
5 3
＝
10 0 1 1　赤玉 5 個から 3 個を取り出す場合であるから，求める確率は　22
12 C 3
0 2 1　赤玉，白玉，青玉をそれぞれ 1 個ずつ取り出す場合であるから，求める確率は
3
5C1%4C1%3C1
＝
11
12 C 3
0 3 1　4 1 5　赤玉と白玉を取り出す場合の数は
5 C 2 % 4 C 1 + 5 C 1 % 4 C 2 ＝40+30 ＝70 ( 通り )
4 2 5　赤玉と青玉を取り出す場合の数は
5 C 2 % 3 C 1 + 5 C 1 % 3 C 2 ＝30+15 ＝45 ( 通り )
4 3 5　白玉と青玉を取り出す場合の数は
4 C 2 % 3 C 1 + 4 C 1 % 3 C 2 ＝18+12 ＝30 ( 通り )
よって，求める確率は　70 + 45 + 30 145 29
＝
＝
220 44
12 C 3
解説
11 円の対称性から，P は線分 OA 上にあるとしても一般性
を失わない。
D
方べきの定理により
PA ･ PB=PC ･ PD
よって　0 5 -OP 10 5 +OP 1 =2 ･ 4
ゆえに　25- OP 2 =8　よって　OP 2 =17
4
A
C
P
2
O
5
B
OP>0 であるから　OP= U 17
-2-

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