(1) n = 5 - SUUGAKU.JP

1
n 枚のカードに 1 から n までの自然数がひとつずつ書かれている．異なるカードには異なる数が
2
n は自然数，p0 ，p1 ，Ý，pn は p0 > 0，Ý，pn > 0 かつ p0 + p1 + Ý + pn = 1 を満たす定数
書かれている．これら n 枚のカードを横一列に並べて，左端から i 番目（ 1 5 i 5 n ）のカード
とする．ポイント 0; 1; 2; Ý; n ¡ 1; n が，それぞれ p0 ; p1 ; p2 ; Ý; pn¡1 ; pn の確率で得
に書かれた数を ai とする．
られる試行 T を考える．試行 T を 1 回行って得られるポイントの期待値を a とし，A = [a] + 1
(1) n = 5 のとき，a1 < a2 < a3 かつ a3 > a4 > a5 を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．
とする．ただし，実数 x に対して [x] は x を超えない最大の整数を表す．競技者は，試行 T を
(2) n = 3 とする．次の条件 ‘，’ を満たすカードの並べ方の総数を n の式で表せ．ただ
下記の各設問のルールに従って何回か行う．
し，’ では，k = 2 のとき a1 < a2 < Ý < ak は a1 < a2 を表し，k = n ¡ 1 のとき
(1) k を 1 5 k 5 n を満たす整数とする．競技者は，試行 T を以下のルールに従って最大 2 回まで
行う．
ak > ak+1 > Ý > an は an¡1 > an を表す．
1 試行 T を 1 回行い，もしポイントが k 以上であれば 2 回目の試行を行わず，このポイント
‘ 1<k<n
を賞金とする．
’ a1 < a2 < Ý < ak かつ ak > ak+1 > Ý > an
(3) n = 4 とする．次の条件 ‘，’，“ を満たすカードの並べ方の総数を n の式で表せ．た
2 1 回目のポイントが k 未満であれば 2 回目の試行 T を行う．このとき，1 回目のポイントは
だし，“ のそれぞれの不等式は (2) と同様に，p = 2 のとき a1 > a2 を表し，q = p + 1 の
無効とし，2 回目のポイントを賞金とする．
とき ap < ap+1 を表し，q = n ¡ 1 のとき an¡1 > an を表す．
このとき賞金の期待値を bk とする．bk を求めよ．
(2) (1) の期待値 bk は k が A のとき最大となることを示せ．
‘ 1<p<q<n
(3) m を 1 5 m 5 n を満たす整数とする．競技者は，試行 T を以下のルールに従って最大 3 回ま
’ a1 = n かつ ap = 1
“ a1 > a2 > Ý > ap かつ ap < ap+1 < Ý < aq かつ aq > aq+1 > Ý > an
（徳島大学 2014 ）
で行う．
1 試行 T を 1 回行い，もしポイントが m 以上であれば 2 回目以降の試行を行わず，このポイ
ントを賞金とする．
2 1 回目のポイントが m 未満であれば 2 回目の試行 T を行う．2 回目のポイントが A 以上で
あれば 3 回目の試行を行わない．このとき，1 回目のポイントは無効とし，2 回目のポイン
トを賞金とする．
3 2 回目のポイントが A 未満であれば 3 回目の試行 T を行う．このとき，1 回目，2 回目のポ
イントは無効とし，3 回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を cm とする．cm を求めよ．
(4) (3) の期待値 cm は m が B = [bA ] + 1 のとき最大となり，cB = bA であることを示せ．ただ
し，bA は (1) で求めた期待値 bk の k = A のときの値である．
(5) n = 5 とし，試行 T として，5 枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を
考える．また，bk ，cm は上記で定義したものとする．
‘ p0 ，p1 ，p2 ，p3 ，p4 ，p5 ，a を求めよ．
’ (1) のように最大 2 回試行を行う場合，bk の最大値を求めよ．
“ (3) のように最大 3 回試行を行う場合，cm の最大値を求めよ．
3
5
n を自然数，i を虚数単位とする．集合 I1 ; I2 ; I3 ; I4 ，および A を
3 個の玉が横に一列に並んでいる．コインを 1 回投げて，それが表であれば，そのときに中央に
ある玉とその左にある玉とを入れ替える．また，それが裏であれば，そのときに中央にある玉
I1 = fk j k は n 以下の自然数 g
とその右にある玉とを入れ替える．この操作を繰り返す．
I2 = f¡k j k は n 以下の自然数 g
I3 = fki j k は n 以下の自然数 g
(1) 最初に中央にあったものが n 回後に中央にある確率を求めよ．
I4 = f¡ki j k は n 以下の自然数 g
(2) 最初に右端にあったものが n 回後に右端にある確率を求めよ．
A = I1 [ I2 [ I3 [ I4 [ f0g
（信州大学 2014 ）
とする．集合 A の要素が 1 つずつ書かれたカードが 4n + 1 枚ある．ただし，それぞれのカード
に書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並
6
べる．左から k 番目のカードに書かれた数を Xk とするとき，次の確率を求めよ．
0; 1; 2; 3; 4 の 5 個の数字を使って，4 桁の数を作る．このとき，各桁の数字が異なり，3 の倍
数となる数は
(1) 積 X1 X2 X3 が 0 となる．
個ある．また，各桁の数字に重複を許すとき，3 の倍数となる数は
個ある．
(2) 積 X1 X2 X3 が実数となる．
（福岡大学 2014 ）
(3) 和 X1 + X2 が実数となる．
(4) X1 (X2 + X3 ) が 0 となる．
7
(5) X1 (X2 + X3 ) が実数となる．
さいころを n 回（ n = 1 ）投げて，出た目の最小公倍数を l とするとき，次の確率を求めよ．
(1) 2 と 3 の少なくとも一方が一度も出ない確率
（愛媛大学 2015 ）
(2) l が素数となる確率
(3) l が出た目の一つに等しい確率
（滋賀医科大学 2014 ）
4
数直線上の点 P を次の規則で移動させる．一枚の硬貨を投げて，表が出れば P を +1 だけ移動
させ，裏が出れば P を原点に関して対称な点に移動させる．P は初め原点にあるとし，硬貨を
8
n 回投げた後の P の座標を an とする．
(1) n 本中 k 本の当たりが入ったクジを n 人で順番に引く．引いたクジは元に戻さないとして，i 番
k
目にクジを引く人の当たる確率が
であることを示しなさい．ただし，0 < k < n とする．
n
p
(2) 関数 y1 = sin x と y2 = 2 sin(a ¡ x) について，y = y1 + y2 の最大値が 7 になるとき，定
(1) a3 = 0 となる確率を求めよ．
(2) a4 = 1 となる確率を求めよ．
次の各問いに答えなさい．
数 a の値を求めなさい．
(3) n = 3 のとき，an = n ¡ 3 となる確率を n を用いて表せ．
（一橋大学 2014 ）
(3) 放物線 y = ax2 と直線 y = bx で囲まれる部分の面積を 2 等分する直線 x = p を求めなさい．
ただし，a; b > 0 とする．
（大分大学 2014 ）
9
自然数 n に対して，1 から 2n までのすべての自然数を次の条件（ア）および（イ）を満たすよ
うに並べた順列 [i1 ; i2 ; i3 ; i4 ; Ý; i2n¡1 ; i2n ] の総数を f(n) とする．
（ア） k = 1; 2; Ý; n に対して i2k¡1 < i2k
（イ） n = 2 ならば i1 < i3 < Ý < i2n¡1
たとえば n = 1 のとき条件（ア）を満たす順列は [1; 2] のみであるから f(1) = 1 となる．
(1) f(2); f(3) を求めよ．
(2) n = 2; 3; Ý とするとき，f(n) と f(n ¡ 1) の間の関係式を求めよ．
(3) f(n) を求めよ．
（鳥取大学 2014 ）
10 赤玉 7 個と白玉 5 個を A，B，C の 3 つの箱に入れる．
(1) 赤玉 7 個だけを 3 つの箱に入れるとき，入れ方はアイ通りである．ただし，玉が入らない
箱があってもよいものとする．
(2) 赤玉 7 個と白玉 5 個を 3 つの箱に入れるとき，入れ方はウエオ通りである．ただし，玉が入
らない箱があってもよいものとする．
(3) どの箱にも 1 個以上の玉を入れるとき，赤玉 7 個と白玉 5 個を 3 つの箱へ入れるような入れ方
はカキク通りである．
（青山学院大学 2012 ）

Download Report