(2) f(x) - SUUGAKU.JP

年番号
1
2
次の空所を埋めよ．
(1) 2 次方程式 x2 ¡ x + k = 0 が異なる 2 つの正の実数 m と m2 を解にもつと
き，実数 m; k の値は，m =
(2) f(x)
=
2 sin x cos x +
ア
p
，k =
イ
である．
3 cos 2x とする．このとき，f(x)
=
2 sin !2x + ウ 9 である．ただし，0 5
ウ
< 2¼ とする．また，
¼
05x5
のとき，f(x) の最小値 m は，m = エである．
2
(3) 3a = 2; 8b = 9 のとき，a = オであり，積 ab の値を対数を用いず
に表すと，ab =
カ
である．
るとき，つくられる整数は全部で
キ
個ある．また， 0 ， 1 ， 1 ， 2 ，
3 の 5 枚のカードのうち，4 枚を並べて 4 桁の整数をつくるとき，つくら
れる整数は全部で
ク
4OAB において，辺 AB の中点を C，辺 AB を 1 : 3 に内分する点を D と
¡!
¡!
する．jOCj = 2，jODj = 2，ÎCOD = 60± とするとき，次の空所を埋めよ．
¡! ¡!
¡! ¡!
¡!
(1) OC; OD を，OA; OB を用いて表すと，OC = ア
¡!
¡!
¡!
OD = ウ OA + エ OB である．
¡! ¡!
¡! ¡!
¡!
(2) OA; OB を，OC; OD を用いて表すと，OA = オ
¡!
¡!
¡!
OB = キ OC + ク OD である．
¡!
¡!
(3) jOAj = ケであり，jOBj = コである．
(4) 4OAB の面積は
(4) 1 ， 1 ， 2 ， 3 の 4 枚のカードのうち，3 枚を並べて 3 桁の整数をつく
個ある．
（大阪工業大学 2015 ）
氏名
サ
¡!
OA +
イ
¡!
OB，
¡!
OC +
カ
¡!
OD，
である．
（大阪工業大学 2015 ）
3
kan
1
，an+1 =
(n = 1; 2; 3; Ý) で定める．た
2
1 + 3an
だし，k は正の定数とする．このとき，次の空所を埋めよ．
数列 fan g を a1 =
1
とおくと，数列 fbn g は初項
an
の等差数列となり，数列 fan g の一般項は，an = ウ
(1) k = 1 のとき，bn =
ア
，公差
(n = 1; 2; 3; Ý)
3
1
¡
とおくと，数列 fcn g は初項エ
an
k¡1
k¡1
オの等比数列となり，数列 fan g の一般項は，an =
3+ カ
1; 2; 3; Ý) である．
特に，k =
キ
，公比
(n =
のとき，すべての自然数 n について an は一定の値で
次の空所を埋めよ．
(1) 2 次方程式 x2 ¡ x + k = 0 が異なる 2 つの正の実数 m と m2 を解にもつと
き，実数 m; k の値は，m =
イ
である．
(2) k Ë 1 のとき，cn =
5
(2) f(x)
=
2 sin x cos x +
ア
p
，k =
イ
である．
3 cos 2x とする．このとき，f(x)
=
2 sin !2x + ウ 9 である．ただし，0 5
ウ
< 2¼ とする．また，
¼
05x5
のとき，f(x) の最小値 m は，m = エである．
2
(3) 3a = 2; 8b = 9 のとき，a = オであり，積 ab の値を対数を用いず
に表すと，ab =
カ
である．
(4) 1 ， 1 ， 2 ， 3 の 4 枚のカードのうち，3 枚を並べて 3 桁の整数をつく
るとき，つくられる整数は全部で
ある．
キ
個ある．また， 0 ， 1 ， 1 ， 2 ，
3 の 5 枚のカードのうち，4 枚を並べて 4 桁の整数をつくるとき，つくら
（大阪工業大学 2015 ）
れる整数は全部で
ク
個ある．
（大阪工業大学 2015 ）
4
関数 f(x) = ¡x2 + 2ax ¡ 2a2 + a + 2 について，次の問いに答えよ．た
だし，a は実数とする．
(1) 2 次方程式 f(x) = 0 が実数解をもつような a の値の範囲を求めよ．
Za
(2) 定積分 I =
f(x) dx を a の式で表せ．
0
(3) a の値が (1) で求めた範囲にあるとき，(2) で定めた I が最小となるよう
な a の値を求めよ．
（大阪工業大学 2015 ）
6
4OAB において，辺 AB の中点を C，辺 AB を 1 : 3 に内分する点を D と
¡!
¡!
する．jOCj = 2，jODj = 2，ÎCOD = 60± とするとき，次の空所を埋めよ．
¡! ¡!
¡! ¡!
¡!
(1) OC; OD を，OA; OB を用いて表すと，OC = ア
¡!
¡!
¡!
OD = ウ OA + エ OB である．
¡! ¡!
¡! ¡!
¡!
(2) OA; OB を，OC; OD を用いて表すと，OA = オ
¡!
¡!
¡!
OB = キ OC + ク OD である．
¡!
¡!
(3) jOAj = ケであり，jOBj = コである．
(4) 4OAB の面積は
サ
¡!
OA +
イ
¡!
OB，
¡!
OC +
カ
¡!
OD，
である．
（大阪工業大学 2015 ）
2
7
関数 f(x) =
(log x) ¡ 3
(x > 0) について，次の問いに答えよ．
x
(1) f(x) を微分せよ．
(2) f(x) の増減を調べ，極値を求めよ．
Z
(3) log x = t とおくことにより，不定積分
f(x) dx を求めよ．
Z e3
(4)
f(x) dx = 0 となるような正の数 a をすべて求めよ．
a
（大阪工業大学 2015 ）
8
B
B
関数 f(x) = 2 1 ¡ x2 に対し，曲線 y = f(x) 上の点 P(a; 2 1 ¡ a2 ) に
おける接線を ` とする．` と x 軸，y 軸との交点をそれぞれ Q，R とし，線
分 QR の長さを d とするとき，次の問いに答えよ．ただし，0 < a < 1 と
する．
(1) f(x) を微分せよ．
(2) 直線 ` の方程式を求めよ．
(3) d2 を a を用いて表せ．
(4) d の値が最小となるような a の値と，そのときの d の値を求めよ．
（大阪工業大学 2015 ）

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