(1) n = 5 - SUUGAKU.JP

1
n 枚のカードに 1 から n までの自然数がひとつずつ書かれている．異なる
カードには異なる数が書かれている．これら n 枚のカードを横一列に並べ
て，左端から i 番目（ 1 5 i 5 n ）のカードに書かれた数を ai とする．
(1) n = 5 のとき，a1 < a2 < a3 かつ a3 > a4 > a5 を満たすカードの並べ方
の総数を求めよ．
(2) n = 3 とする．次の条件 ‘，’ を満たすカードの並べ方の総数を n の
式で表せ．ただし，’ では，k = 2 のとき a1 < a2 < Ý < ak は a1 < a2
を表し，k = n ¡ 1 のとき ak > ak+1 > Ý > an は an¡1 > an を表す．
‘ 1<k<n
’ a1 < a2 < Ý < ak かつ ak > ak+1 > Ý > an
(3) n = 4 とする．次の条件 ‘，’，“ を満たすカードの並べ方の総数
を n の式で表せ．ただし，“ のそれぞれの不等式は (2) と同様に，p = 2
のとき a1 > a2 を表し，q = p + 1 のとき ap < ap+1 を表し，q = n ¡ 1 の
とき an¡1 > an を表す．
‘ 1<p<q<n
’ a1 = n かつ ap = 1
“ a1 > a2 > Ý > ap かつ ap < ap+1 < Ý < aq かつ aq > aq+1 > Ý >
an
（徳島大学 2014 ）
2
n は自然数，p0 ，p1 ，Ý，pn は p0 > 0，Ý，pn > 0 かつ p0 +p1 +Ý+pn = 1
を満たす定数とする．ポイント 0; 1; 2; Ý; n ¡ 1; n が，それぞれ
3
投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ
1
のコインを 1 枚用意し，次のよ
2
うに左から順に文字を書く．
p0 ; p1 ; p2 ; Ý; pn¡1 ; pn の確率で得られる試行 T を考える．試行 T
を 1 回行って得られるポイントの期待値を a とし，A = [a] + 1 とする．た
だし，実数 x に対して [x] は x を超えない最大の整数を表す．競技者は，試
行 T を下記の各設問のルールに従って何回か行う．
(1) k を 1 5 k 5 n を満たす整数とする．競技者は，試行 T を以下のルールに
従って最大 2 回まで行う．
1 試行 T を 1 回行い，もしポイントが k 以上であれば 2 回目の試行を行
わず，このポイントを賞金とする．
2 1 回目のポイントが k 未満であれば 2 回目の試行 T を行う．このとき，
1 回目のポイントは無効とし，2 回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を bk とする．bk を求めよ．
(2) (1) の期待値 bk は k が A のとき最大となることを示せ．
(3) m を 1 5 m 5 n を満たす整数とする．競技者は，試行 T を以下のルール
に従って最大 3 回まで行う．
1 試行 T を 1 回行い，もしポイントが m 以上であれば 2 回目以降の試行
を行わず，このポイントを賞金とする．
2 1 回目のポイントが m 未満であれば 2 回目の試行 T を行う．2 回目のポ
イントが A 以上であれば 3 回目の試行を行わない．このとき，1 回目の
ポイントは無効とし，2 回目のポイントを賞金とする．
3 2 回目のポイントが A 未満であれば 3 回目の試行 T を行う．このとき，
コインを投げ，表が出たときは文字列 AA を書き，裏が出たときは文字 B
を書く．さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って，AA，B をすで
にある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，コインを 5 回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であっ
たとすると，得られる文字列は，
AABBAAB
1 回目，2 回目のポイントは無効とし，3 回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を cm とする．cm を求めよ．
(4) (3) の期待値 cm は m が B = [bA ] + 1 のとき最大となり，cB = bA であ
ることを示せ．ただし，bA は (1) で求めた期待値 bk の k = A のときの値
となる．このとき，左から 4 番目の文字は B，5 番目の文字は A である．
(1) n を正の整数とする．n 回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左か
ら n 番目の文字が A となる確率を求めよ．
5
直線上に n + 1 個の点 P0 ，P1 ，P2 ，Ý，Pn がこの順に並んでいて，隣り合
う 2 点間の距離
(2) n を 2 以上の整数とする．n 回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列
の左から n ¡ 1 番目の文字が A で，かつ n 番目の文字が B となる確率を求
めよ．
P0 P1 ; P1 P2 ; P2 P3 ; Ý; Pn¡1 Pn
1
1
1
1
;
;
; Ý;
となっている．この n + 1 個の点から，
1
2
3
n
同様の確からしさで異なる 2 点を選び，その距離を d とする．このとき，d
がそれぞれ
（東京大学 2015 ）
の期待値を求めよ．
4
n を自然数，i を虚数単位とする．集合 I1 ; I2 ; I3 ; I4 ，および A を
（島根大学 2012 ）
I1 = fk j k は n 以下の自然数 g
I2 = f¡k j k は n 以下の自然数 g
I3 = fki j k は n 以下の自然数 g
I4 = f¡ki j k は n 以下の自然数 g
A = I1 [ I2 [ I3 [ I4 [ f0g
とする．集合 A の要素が 1 つずつ書かれたカードが 4n + 1 枚ある．ただし，
それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカード
をよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から k 番目のカードに書かれた
数を Xk とするとき，次の確率を求めよ．
(1) 積 X1 X2 X3 が 0 となる．
(2) 積 X1 X2 X3 が実数となる．
(3) 和 X1 + X2 が実数となる．
(4) X1 (X2 + X3 ) が 0 となる．
(5) X1 (X2 + X3 ) が実数となる．
（愛媛大学 2015 ）

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