1 n 枚のカード に 1 から n までの自然数がひとつずつ書かれている.異なる カード には異なる数が書かれている.これら n 枚のカード を横一列に並べ て,左端から i 番目( 1 5 i 5 n )のカードに書かれた数を ai とする. (1) n = 5 のとき,a1 < a2 < a3 かつ a3 > a4 > a5 を満たすカード の並べ方 の総数を求めよ. (2) n = 3 とする.次の条件 ‘,’ を満たすカード の並べ方の総数を n の 式で表せ.ただし,’ では,k = 2 のとき a1 < a2 < Ý < ak は a1 < a2 を表し,k = n ¡ 1 のとき ak > ak+1 > Ý > an は an¡1 > an を表す. ‘ 1<k<n ’ a1 < a2 < Ý < ak かつ ak > ak+1 > Ý > an (3) n = 4 とする.次の条件 ‘,’,“ を満たすカード の並べ方の総数 を n の式で表せ.ただし,“ のそれぞれの不等式は (2) と同様に,p = 2 のとき a1 > a2 を表し,q = p + 1 のとき ap < ap+1 を表し,q = n ¡ 1 の とき an¡1 > an を表す. ‘ 1<p<q<n ’ a1 = n かつ ap = 1 “ a1 > a2 > Ý > ap かつ ap < ap+1 < Ý < aq かつ aq > aq+1 > Ý > an ( 徳島大学 2014 ) 2 n は自然数,p0 ,p1 ,Ý,pn は p0 > 0,Ý,pn > 0 かつ p0 +p1 +Ý+pn = 1 を満たす定数とする.ポ イント 0; 1; 2; Ý; n ¡ 1; n が ,それぞれ 3 投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ 1 のコインを 1 枚用意し,次のよ 2 うに左から順に文字を書く. p0 ; p1 ; p2 ; Ý; pn¡1 ; pn の確率で得られる試行 T を考える.試行 T を 1 回行って得られるポイントの期待値を a とし,A = [a] + 1 とする.た だし,実数 x に対して [x] は x を超えない最大の整数を表す.競技者は,試 行 T を下記の各設問のルールに従って何回か行う. (1) k を 1 5 k 5 n を満たす整数とする.競技者は,試行 T を以下のルールに 従って最大 2 回まで行う. 1 試行 T を 1 回行い,もしポイントが k 以上であれば 2 回目の試行を行 わず,このポイントを賞金とする. 2 1 回目のポイントが k 未満であれば 2 回目の試行 T を行う.このとき, 1 回目のポイントは無効とし,2 回目のポイントを賞金とする. このとき賞金の期待値を bk とする.bk を求めよ. (2) (1) の期待値 bk は k が A のとき最大となることを示せ. (3) m を 1 5 m 5 n を満たす整数とする.競技者は,試行 T を以下のルール に従って最大 3 回まで行う. 1 試行 T を 1 回行い,もしポイントが m 以上であれば 2 回目以降の試行 を行わず,このポイントを賞金とする. 2 1 回目のポイントが m 未満であれば 2 回目の試行 T を行う.2 回目のポ イントが A 以上であれば 3 回目の試行を行わない.このとき,1 回目の ポイントは無効とし,2 回目のポイントを賞金とする. 3 2 回目のポイントが A 未満であれば 3 回目の試行 T を行う.このとき, コインを投げ,表が出たときは文字列 AA を書き,裏が出たときは文字 B を書く.さらに繰り返しコインを投げ,同じ規則に従って,AA,B をすで にある文字列の右側につなげて書いていく. たとえば,コインを 5 回投げ,その結果が順に表,裏,裏,表,裏であっ たとすると,得られる文字列は, AABBAAB 1 回目,2 回目のポイントは無効とし,3 回目のポイントを賞金とする. このとき賞金の期待値を cm とする.cm を求めよ. (4) (3) の期待値 cm は m が B = [bA ] + 1 のとき最大となり,cB = bA であ ることを示せ.ただし ,bA は (1) で求めた期待値 bk の k = A のときの値 となる.このとき,左から 4 番目の文字は B,5 番目の文字は A である. (1) n を正の整数とする.n 回コインを投げ,文字列を作るとき,文字列の左か ら n 番目の文字が A となる確率を求めよ. 5 直線上に n + 1 個の点 P0 ,P1 ,P2 ,Ý,Pn がこの順に並んでいて,隣り合 う 2 点間の距離 (2) n を 2 以上の整数とする.n 回コインを投げ,文字列を作るとき,文字列 の左から n ¡ 1 番目の文字が A で,かつ n 番目の文字が B となる確率を求 めよ. P0 P1 ; P1 P2 ; P2 P3 ; Ý; Pn¡1 Pn 1 1 1 1 ; ; ; Ý; となっている.この n + 1 個の点から, 1 2 3 n 同様の確からしさで異なる 2 点を選び,その距離を d とする.このとき,d がそれぞれ ( 東京大学 2015 ) の期待値を求めよ. 4 n を自然数,i を虚数単位とする.集合 I1 ; I2 ; I3 ; I4 ,および A を ( 島根大学 2012 ) I1 = fk j k は n 以下の自然数 g I2 = f¡k j k は n 以下の自然数 g I3 = fki j k は n 以下の自然数 g I4 = f¡ki j k は n 以下の自然数 g A = I1 [ I2 [ I3 [ I4 [ f0g とする.集合 A の要素が 1 つずつ書かれたカードが 4n + 1 枚ある.ただし, それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする.これらのカード をよくまぜて,左から右に一列に並べる.左から k 番目のカードに書かれた 数を Xk とするとき,次の確率を求めよ. (1) 積 X1 X2 X3 が 0 となる. (2) 積 X1 X2 X3 が実数となる. (3) 和 X1 + X2 が実数となる. (4) X1 (X2 + X3 ) が 0 となる. (5) X1 (X2 + X3 ) が実数となる. ( 愛媛大学 2015 )
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