1 n 枚のカードに 1 から n までの自然数がひとつずつ書かれている.異 なるカード には異なる数が書かれている.これら n 枚のカード を横 一列に並べて,左端から i 番目( 1 5 i 5 n )のカード に書かれた数 を ai とする. (1) n = 5 のとき,a1 < a2 < a3 かつ a3 > a4 > a5 を満たすカード の 並べ方の総数を求めよ. (2) n = 3 とする.次の条件 ‘,’ を満たすカードの並べ方の総数を n の式で表せ.ただし,’ では,k = 2 のとき a1 < a2 < Ý < ak は a1 < a2 を表し ,k = n ¡ 1 のとき ak > ak+1 > Ý > an は an¡1 > an を表す. ‘ 1<k<n ’ a1 < a2 < Ý < ak かつ ak > ak+1 > Ý > an (3) n = 4 とする.次の条件 ‘,’,“ を満たすカード の並べ方 の総数を n の式で表せ.ただし ,“ のそれぞれの不等式は (2) と 同様に,p = 2 のとき a1 > a2 を表し,q = p + 1 のとき ap < ap+1 を表し,q = n ¡ 1 のとき an¡1 > an を表す. ‘ 1<p<q<n ’ a1 = n かつ ap = 1 “ a1 > a2 > Ý > ap かつ ap < ap+1 < Ý < aq かつ aq > aq+1 > Ý > an ( 徳島大学 2014 ) 2 n は自然数,p0 ,p1 ,Ý,pn は p0 > 0,Ý,pn > 0 かつ p0 + p1 + Ý + pn = 1 を満たす定数とする.ポイント 0; 1; 2; Ý; n ¡ 1; n が,それぞれ p0 ; p1 ; p2 ; Ý; pn¡1 ; pn の確率で得られる試行 T を考える.試行 T を 1 回行って得られるポイントの期待値を a とし, A = [a] + 1 とする.ただし,実数 x に対して [x] は x を超えない最 大の整数を表す.競技者は,試行 T を下記の各設問のルールに従っ て何回か行う. (1) k を 1 5 k 5 n を満たす整数とする.競技者は,試行 T を以下の ルールに従って最大 2 回まで行う. 1 試行 T を 1 回行い,もしポイントが k 以上であれば 2 回目の試 行を行わず,このポイントを賞金とする. 2 1 回目のポイントが k 未満であれば 2 回目の試行 T を行う.この とき,1 回目のポイントは無効とし,2 回目のポイントを賞金と する. このとき賞金の期待値を bk とする.bk を求めよ. (2) (1) の期待値 bk は k が A のとき最大となることを示せ. (3) m を 1 5 m 5 n を満たす整数とする.競技者は,試行 T を以下の ルールに従って最大 3 回まで行う. 1 試行 T を 1 回行い,もしポイントが m 以上であれば 2 回目以降 の試行を行わず,このポイントを賞金とする. 2 1 回目のポイントが m 未満であれば 2 回目の試行 T を行う.2 回 目のポイントが A 以上であれば 3 回目の試行を行わない.この とき,1 回目のポイントは無効とし,2 回目のポイントを賞金と する. 3 n を自然数,i を虚数単位とする.集合 I1 ; I2 ; I3 ; I4 ,および A を 4 投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ 1 のコインを 1 枚用意し , 2 次のように左から順に文字を書く. I1 = fk j k は n 以下の自然数 g I2 = f¡k j k は n 以下の自然数 g コインを投げ,表が出たときは文字列 AA を書き,裏が出たときは文 I3 = fki j k は n 以下の自然数 g 字 B を書く.さらに繰り返しコインを投げ,同じ規則に従って,AA, I4 = f¡ki j k は n 以下の自然数 g B をすでにある文字列の右側につなげて書いていく. たとえば,コインを 5 回投げ,その結果が順に表,裏,裏,表,裏 A = I1 [ I2 [ I3 [ I4 [ f0g とする.集合 A の要素が 1 つずつ書かれたカードが 4n + 1 枚ある. ただし,それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする. であったとすると,得られる文字列は, AABBAAB これらのカードをよくまぜて,左から右に一列に並べる.左から k 番 目のカードに書かれた数を Xk とするとき,次の確率を求めよ. となる.このとき,左から 4 番目の文字は B,5 番目の文字は A で ある. (1) 積 X1 X2 X3 が 0 となる. (1) n を正の整数とする.n 回コインを投げ,文字列を作るとき,文字 (2) 積 X1 X2 X3 が実数となる. 列の左から n 番目の文字が A となる確率を求めよ. (3) 和 X1 + X2 が実数となる. (2) n を 2 以上の整数とする.n 回コインを投げ,文字列を作るとき,文 (4) X1 (X2 + X3 ) が 0 となる. 字列の左から n ¡ 1 番目の文字が A で,かつ n 番目の文字が B とな (5) X1 (X2 + X3 ) が実数となる. ( 愛媛大学 2015 ) る確率を求めよ. ( 東京大学 2015 ) 5 直線上に n + 1 個の点 P0 ,P1 ,P2 ,Ý,Pn がこの順に並んでいて,隣 り合う 2 点間の距離 P0 P1 ; P1 P2 ; P2 P3 ; Ý; Pn¡1 Pn 1 1 1 1 ; ; ; Ý; となっている.この n + 1 個の点 1 2 3 n から,同様の確からしさで異なる 2 点を選び,その距離を d とする. がそれぞれ このとき,d の期待値を求めよ. ( 島根大学 2012 )
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