解析学 IV 演習問題 No.10 22/December/2015 配布済み演習問題は左記にあります: http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/ [31] 次の積分 I の値を求めよ.但し,α > − 32 とする. ∫ 1 ∫ x ∫ x+y (1) I = dx dy ex+y−z dz 0 0 0 ∫ (2) I = (x2 + y 2 + z 2 )α dxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≦ a2 } D ∫ (3) I = (x + y + z)dxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≦ a2 , z ≧ 0} D ∫∫∫ [32] D = {(x, y, z) ∈ R | x, y, z ≧ 0} のとき,I = 3 収束する α の範囲を求めよ. D dxdydz が (1 + x2 + y 2 + z 2 )α [33] 半径 R > 0 の n 次元球 BRn = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn | x21 + · · · + x2n ≦ R2 } の体積 n π2 n Rn で与えられることを数学的帰納法で示せ. が |BR | = Γ( n2 + 1) [34] 次の D の体積を求めよ.但し a, b, c > 0 とする. { } x y z (1) D = (x, y, z) ∈ R3 | x, y, z ≧ 0, + + ≦ 1 a b c √ (2) D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≦ 1, x2 + y 2 ≦ 2x} [35] 次の 3 重積分 I の値を求めよ. ∫∫∫ (1) I = xdxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | x, y, z ≧ 0, x + y + z ≦ 1} D ∫∫∫ (2) I = xydxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | x ≧ 0, x2 + y 2 ≦ z ≦ 1} D ∫∫∫ (3) I = xdxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | x ≧ 0, x2 + y 2 + z 2 ≦ 1} D ∫∫∫ (4) I = z 2 dxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | z ≧ 0, x2 +y 2 +z 2 ≦ 1, x2 +y 2 ≦ D x} ∫∫∫ [36] D = {(x, y, z) ∈ R | x, y, z ≧ 0, x + y + z ≦ 1} のとき,I = (1 − x2 − 3 y 2 − z 2 )−1/2 dxdydz を求めよ. D [37] α ∈√R とする.D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≧ 1} のとき,I = ∫∫∫ sin x2 + y 2 + z 2 dxdydz の収束・発散を調べよ. 2 2 2 α D (x + y + z ) 解析学 IV 演習問題 No.11 22/December/2015 配布済み演習問題は左記にあります: http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/ [38] 次の曲面積を求めよ.但し,a > 0 とする. (1) 曲面 z = tan−1 (y/x) (x, y > 0) の,円柱面 x2 + y 2 = a2 の内部にある部分. (2) 円柱面 x2 + y 2 = a2 の,円柱面 x2 + z 2 = a2 の内部にある部分. (3) 球面 x2 + y 2 + z 2 = a2 の,円柱面 x2 + y 2 = a2 の内部にある部分. [39] 次の式を導出せよ.但し,0 ≦ a < b とする. (1) xz-平面上の C 1 級曲線 z = f (x) (0 ≦ a ≦ x ≦ b) を z 軸のまわりに回転して ∫ b √ できる曲面の曲面積は A = 2π x 1 + f ′2 dx. a (2) xy-平面上の C 級曲線 y = f (x) (a ≦ x ≦ b) を x 軸のまわりに回転してでき ∫ b √ る曲面の曲面積は A = 2π |y| 1 + y ′2 dx. 1 a [40] 次の曲面積を求めよ. ex + e−x (|x| ≦ 1) を x 軸のまわりに回転してできる曲面. 2 (2) サイクロイド x = θ − sin θ, y = 1 − cos θ (0 ≦ θ ≦ π) を x 軸のまわりに回転 してできる曲面. (1) カテナリー y = [41] 次の曲面の曲面積を求めよ.但し,a, b, c > 0 とする. x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c x = (2 + cos u) cos v, (2) トーラス y = (2 + cos u) sin v, z = sin v (1) 楕円面 ((u, v) ∈ R2 )
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