解析学IV演習問題 No.10

解析学 IV 演習問題 No.10
22/December/2015
配布済み演習問題は左記にあります: http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/
[31] 次の積分 I の値を求めよ．但し，α > − 32 とする．
∫ 1 ∫ x ∫ x+y
(1) I =
dx
dy
ex+y−z dz
0
0
0
∫
(2) I = (x2 + y 2 + z 2 )α dxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≦ a2 }
D
∫
(3) I = (x + y + z)dxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≦ a2 , z ≧ 0}
D
∫∫∫
[32] D = {(x, y, z) ∈ R | x, y, z ≧ 0} のとき，I =
3
収束する α の範囲を求めよ．
D
dxdydz
が
(1 + x2 + y 2 + z 2 )α
[33] 半径 R > 0 の n 次元球 BRn = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn | x21 + · · · + x2n ≦ R2 } の体積
n
π2
n
Rn で与えられることを数学的帰納法で示せ．
が |BR | =
Γ( n2 + 1)
[34] 次の D の体積を求めよ．但し a, b, c > 0 とする．
{
}
x y z
(1) D = (x, y, z) ∈ R3 | x, y, z ≧ 0, + + ≦ 1
a b c
√
(2) D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≦ 1, x2 + y 2 ≦ 2x}
[35] 次の 3 重積分 I の値を求めよ．
∫∫∫
(1) I =
xdxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | x, y, z ≧ 0, x + y + z ≦ 1}
D
∫∫∫
(2) I =
xydxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | x ≧ 0, x2 + y 2 ≦ z ≦ 1}
D
∫∫∫
(3) I =
xdxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | x ≧ 0, x2 + y 2 + z 2 ≦ 1}
D
∫∫∫
(4) I =
z 2 dxdydz, D = {(x, y, z) ∈ R3 | z ≧ 0, x2 +y 2 +z 2 ≦ 1, x2 +y 2 ≦
D
x}
∫∫∫
[36] D = {(x, y, z) ∈ R | x, y, z ≧ 0, x + y + z ≦ 1} のとき，I =
(1 − x2 −
3
y 2 − z 2 )−1/2 dxdydz を求めよ．
D
[37] α ∈√R とする．D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≧ 1} のとき，I =
∫∫∫
sin x2 + y 2 + z 2
dxdydz の収束・発散を調べよ．
2
2
2 α
D (x + y + z )
解析学 IV 演習問題 No.11
22/December/2015
配布済み演習問題は左記にあります: http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/
[38] 次の曲面積を求めよ．但し，a > 0 とする．
(1) 曲面 z = tan−1 (y/x) (x, y > 0) の，円柱面 x2 + y 2 = a2 の内部にある部分．
(2) 円柱面 x2 + y 2 = a2 の，円柱面 x2 + z 2 = a2 の内部にある部分．
(3) 球面 x2 + y 2 + z 2 = a2 の，円柱面 x2 + y 2 = a2 の内部にある部分．
[39] 次の式を導出せよ．但し，0 ≦ a < b とする．
(1) xz-平面上の C 1 級曲線 z = f (x) (0 ≦ a ≦ x ≦ b) を z 軸のまわりに回転して
∫ b √
できる曲面の曲面積は A = 2π
x 1 + f ′2 dx.
a
(2) xy-平面上の C 級曲線 y = f (x) (a ≦ x ≦ b) を x 軸のまわりに回転してでき
∫ b √
る曲面の曲面積は A = 2π
|y| 1 + y ′2 dx.
1
a
[40] 次の曲面積を求めよ．
ex + e−x
(|x| ≦ 1) を x 軸のまわりに回転してできる曲面．
2
(2) サイクロイド x = θ − sin θ, y = 1 − cos θ (0 ≦ θ ≦ π) を x 軸のまわりに回転
してできる曲面．
(1) カテナリー y =
[41] 次の曲面の曲面積を求めよ．但し，a, b, c > 0 とする．
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c



x = (2 + cos u) cos v,
(2) トーラス y = (2 + cos u) sin v,


z = sin v
(1) 楕円面
((u, v) ∈ R2 )

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