補習レポートの解説

応用幾何学補習レポート解説（電通大：山田）
2015 後
レポ改題 xyz 空間内の単位球面を S （外側を表）とし，次の２次微分形式 ω を
考える．
S = { (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1 },
ω = 2x dy ∧ dz + (y 3 − 2y) dz ∧ dx + 3y dx ∧ dy
∫
単位球面 S に沿う２次微分形式 ω の積分 ω を求めよ.
S
【解答例】単位球を B = { (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } とする．
球 B の境界が球面 S である（B は S に囲まれた閉領域）
：∂B = S.
2
２次微分形式 ω の外微分を計算すると dω = 3y dx ∧ dy ∧ dz.
∫
∫
ストークスの定理により ∫
ω=
S
ω=
dω.
∂B
B
球 B の対称性
∫
∫
2
∫
2
x dxdydz =
z 2 dxdydz
y dxdydz =
B
B
B
を利用すると
∫
∫
∫
ω =
dω
S
=
3y dxdydz
B
∫
E
∫
1
=
0
B
0 ≤ r ≤ 1,
極座標 E : 0 ≤ θ ≤ π,
0 ≤ ϕ ≤ 2π
r · r sin θ drdθdϕ
2
r dr ·
∫
π
4
0
sin θ dθ ·
(x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz
=
B
2
=
∫
2
∫
2π
dϕ
0
=
1
· 2 · 2π
5
=
4π
5
以上［一言］
ストークスの定理で計算が簡単になることに気づいて欲しかった．
幾何学なだけに，球の対称性（美しさ）を意識して欲しかった．

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