講義第九回講義ノート

第9章
9.1
９回目剛体の運動 (2)
慣性モーメント続き
重心まわりの慣性モーメントと、任意の点のまわりの慣性モーメントの関係
I = IG + M h 2
(9.1)
となる。I はある回転軸のまわりの慣性モーメント、IG は重心を通る回転軸まわりの慣性モーメント、h は２つの
回転軸の距離、M は剛体の質量である。
この式は、２つの回転軸が平行な場合について言っている。
回転軸を z 軸 (x = y = 0) として、重心の位置を (xG , yG ) とする。
∫
I=
(x2 + y 2 )ρ(x, y, z)dxdydz
(9.2)
である。これを (xG , yG ) 中心で書き直せば、
∫ (
)
2
2
I=
(x − xG + xG ) + (y − yG + yG ) ρ(x, y, z)dxdydz
自乗すると３項でるが、1 項目は、
∫ (
I1 =
2
(x − xG ) + (y − yG )
2
(9.3)
)
ρ(x, y, z)dxdydz
(9.4)
これは IG 。
２項目は、
∫ (
I2 =
2
(xG ) + (yG )
2
)
)
(
2
ρ(x, y, z)dxdydz = x2G + yG
∫
ρ(x, y, z)dxdydz = M h2
(9.5)
なので M h2 。
３項目のクロスタームは、
∫
I3 =
(−2(x − xG )xG − 2(x − xG )xG ) ρ(x, y, z)dxdydz
∫
= −2xG
(9.6)
∫
(x − xG ) ρ(x, y, z)dxdydz − 2yG
(y − yG ) ρ(x, y, z)dxdydz
この積分は、重心の定義から、
∫
∫
(x − xG ) ρ(x, y, z)dxdydz = M xG − xG ρ(x, y, z)dxdydz = M xG − xG M = 0
(9.7)
(9.8)
y を含む積分も同様。よって示せた。
9.2
運動エネルギー、仕事、角運動量、力積
回転体の運動エネルギーは、角速度 ω = θ˙ のとき、前のように回転体が質点２つのようなものであれば、運動
エネルギーは
E=
1
1
I
m1 (r1 ω)2 + m2 (r2 ω)2 = ω 2
2
2
2
32
(9.9)
である。これは質点を増やしても同じなので、エネルギーはこの式でいい。これを時間微分すると、
I
dE
d2 θ dθ
=
2
dt dt
dt
(9.10)
よって、
d2 θ
dE
=
2
dt
dθ
ところで、N のモーメントで θ まわした時の仕事は N θ であるから、E = N θ で、
I
I
dE
d2 θ
=
=N
dt2
dθ
(9.11)
(9.12)
となり、質点の場合と同様にエネルギー保存の時間微分は運動方程式を与える。
運動量と力積の関係については、接線方向の運動量に距離をかけたものが角運動量、というのは前にやった。mi
の質点が複数個あるばあいで書くと角運動量 L は、
∑
∑
∑
L=
m i vi r i =
mi (ri ω)ri = (
mi ri2 )ω = Iω
(9.13)
とかけて、I は慣性モーメントである。
運動方程式は
dL
= N, L = I θ˙
dt
(9.14)
L = mr2 θ˙ = mr2 ω = mrv∥
(9.15)
と書ける。単一の質点であれば、
で、惑星で扱った面積速度を２倍して m をかけたものである。
質点の運動量であれば、力積によって増減するので、角運動量の増減は、加える力のモーメント×時間で決まる。
加わる力のモーメントがなければ L は保存する。
例題実体振り子
糸でなく、剛体でできた振り子を実体振り子という
運動方程式は
(I + M h2 )
d2 θ
= −M gh sin θ
dt2
(9.16)
θ が小さければ sin θ = θ とすれば解けて、周期は、
√
T = 2π
I + M h2
M gh
(9.17)
となる。
θ が大きくなるといろいろ難しい。まずは保存則を考えると、これは中心力でないので、角運動量保存は成り立
たない。エネルギー保存は
dθ
1
(I + M h2 )( )2 − M g cos θ = E
(9.18)
2
dt
これを θ で積分すると、楕円関数が出てくる。
9.3
運動方程式 (3) 回転軸が動く
これまでは回転軸が固定されている場合を考えてきたが、ここでは回転軸が固定されておらず、移動できる場
合を考える。
まず、３つの質点からなる系を考察する。３つの質点は、軽い棒でつながれていて、互いに力を及ぼしあう。ま
ず最初に、互いの力だけが働いていて、外部からの力はないとする。そうすると、３つの質点の運動方程式は、
m1
d2⃗r1
= F⃗21 + F⃗31
dt2
33
(9.19)
d2⃗r2
= F⃗12 + F⃗32
dt2
d2⃗r3
m3 2 = F⃗13 + F⃗23
dt
となる。ところで作用反作用の法則があるので、これを３つ足した式は、
m2
d2
(m1⃗r1 + m2⃗r2 + m3⃗r3 ) = 0
dt2
(9.20)
(9.21)
(9.22)
まえに使った重心の定義
rG =
m1⃗r1 + m2⃗r2 + m3⃗r3
m1 + m2 + m3
(9.23)
を使えば、
d⃗rG
=0
(9.24)
dt2
である。つまり、重心の速度は、外力がなければ一定である。重心の位置は、もともと静止していれば静止を続
(m1 + m2 + m3 )
け、等速運動していれば、等速運動を続ける。
次に、この系に偶力を加えてみる。m1 と m2 に逆方向の力を加える。そうすると、３つの質点の運動方程式は、
m1
d2⃗r1
= F⃗21 + F⃗31 + F⃗G
dt2
d2⃗r2
= F⃗12 + F⃗32 − F⃗G
dt2
d2⃗r3
m3 2 = F⃗13 + F⃗23
dt
m2
(9.25)
(9.26)
(9.27)
これを合計して得られる式は、
(m1 + m2 + m3 )
d⃗rG
=0
dt2
(9.28)
となり、やはり重心は、加速度がない。
次に、この系に外力を加える。m1 力を加えてみる。そうすると、３つの質点の運動方程式は、
m1
d2⃗r1
= F⃗21 + F⃗31 + F⃗ex
dt2
d2⃗r2
= F⃗12 + F⃗32
dt2
d2⃗r3
m3 2 = F⃗13 + F⃗23
dt
m2
(9.29)
(9.30)
(9.31)
単純に合計すれば、
d⃗rG
= F⃗ex
(9.32)
dt2
なので、この３つの物体の重心の運動は、m1 + m2 + m3 の質点の運動と同じということになる。（回転を除く。）
⃗ を、重心のところに ± つけて、
重心の運動はわかったので、残りは重心まわりの回転である。これは、元の F
(m1 + m2 + m3 )
重心にかかる力と、偶力の和と考えればよい。（この操作は重心以外の位置でも可能だが、そうすると上の運動方
程式とつながらない。）重心周りの回転なので、モーメントは F r で、r は重心と F の作用線の距離である。回転
の運動方程式は前に求めたので、この場合は並進と回転の２つの方程式が求まって、それを解けばいい。
まとめると、回転軸が固定されていなければ、運動方程式は２つあって、並進 (３次元なので３方向) は、
d2⃗rG
= F⃗
dt2
(9.33)
d2 θ
= N = F r sin ϕ
dt2
(9.34)
M
回転は
IG
のようになる。
34
9.4
運動エネルギー（再）
並進運動と回転運動の方程式が分離したので、この場合の運動エネルギーは、並進運動の運動エネルギーと回
転運動の運動エネルギーの和になるはずである。とはいえ運動エネルギーは線型でなく速度の自乗なので、この
予想は自明でなく、示しておく必要がある。
剛体を mi の質点の集合と思えば、運動エネルギー K は、
2K =
∑
(
mi
d⃗ri
dt
)2
(9.35)
rG 中心に書き直す。
2K =
∑
３項出てくる。１項目は、
2K1 =
)2
d
(⃗ri − ⃗rG + ⃗rG )
dt
(9.36)
)2
d
(⃗ri − ⃗rG )
dt
(9.37)
)2
(
)2
d
d
(⃗rG ) = M
(⃗rG )
dt
dt
(9.38)
(
mi
∑
(
mi
これは重心まわりの回転の運動エネルギーである。
２項目は、
2K2 =
∑
(
mi
となり、重心の並進運動のエネルギー。
３項目のクロスタームは、内積を使って、（余弦定理でも）
2K3 =
∑
(
mi
d
(⃗ri − ⃗rG ) · ⃗rG
dt
)
(9.39)
和を中にいれれば
2K3 =
)
∑
d (∑
d
mi⃗ri −
mi⃗rG · ⃗rG =
(M⃗rG − M⃗rG ) · ⃗rG = 0
dt
dt
(9.40)
よって示せた。
これは I = IG + M h2 の証明と同じであった。
また、例として、振り子の運動エネルギーは、
K=
1 2
1
1
1
1
Iω = IG ω 2 + M h2 ω 2 = IG ω 2 + M v 2
2
2
2
2
2
なので、「重心周りの回転」と「並進」の和になっていることもわかる。
35
(9.41)

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