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付録
電磁気学の復習
1
基礎方程式 (Maxwell’s Equation)
基礎
方程式
ガウス
物質の
影響
電位の
定義
∂D
+ J = ∇×H
∂t
∂B
−
= ∇×E
∂t
∇•D = ρ
∇ • B = ρm = 0
D = ε 0ε r E
B = μ0 μ r H
E = −∇V
D: Electric Flux Density
J: Current Density
H: Magnetic Field
B: Magnetic Flux Density
E: Electric Field
ρ: True Charge
ε0εr: Permittivity
μ0μr: Permeability
V: Electric Potential
は半導体デバイス
の解析でよく用いら
れる式
2
電位の一般的定義
高校物理での電位の定義
一般的な電位の定義（微分形）
dV ( x)
[V/m] （１D記述）
dx
= −∇V ( x（ベクトル解析の　)
3D記法）
E ( x) = −
+
+ +
x
E
3+
強いE
－－－
x
V ( x) = − E ⋅ x
E は比例係数として定義されている。
電場が均一の場合に成り立つ電位の
定義。
弱いE
V
－－－
各位置 x で E が定義できるように拡張。
3
電位の物理的意味
q
dV
より
dx
dV
F = q ⋅ E = −q
dx
− F ⋅ dx = −q ⋅ E ⋅ dx = q ⋅ dV
E=−
dx移動
E
q
U = q・V
の仕事
電界と反対方向に電荷を動かすと
位置エネルギーがqVだけ増える
両辺を積分すると
位置エネルギーU = − ∫ F ⋅ dx = − q ∫ Edx = q ∫ dV = q ⋅ V
電荷qを移動させたとき、V = 位置エネルギー／q
4
ガウスの法則
電界は単位面積の電気力線本数
表面積S
+
Q
電気力線
2+
2Q
一定の球（一定の体積）の
中にある電荷と電気力線
の本数は比例する
電気力線の本数　N = E ⋅ S =
1
ε0
Q
比例係数（真空の誘電率 [F/m]の逆数）
5
ガウスの法則の微分形
dE ρ
=
dx ε 0
y
dx
dz
E
dy
z
E+
∇•E =
dE
dx
dx
x
１Dガウスの法則
ρ
ε0
（ベクトル解析の3D記法）
内部に電荷Q = ρ・dxdydz が存在するとき
（ρは単位体積の電荷 [Coul/m3]）
箱の面を通過する電気力線の本数N
N = (E +
dE
dE
1
1
dx) ⋅ dydz − E ⋅ dydz =
dxdydz = Q = ρ ⋅ dxdydz
dx
dx
ε0
ε0
6
物質中の電界
物質外部から加えた電界E0
物質が分極して発生した電界EP
物質中の電界はEPに
よって弱められる。
EP = χ ⋅ E
（Ep とEが比例する場合）
E = E0 − E P = E0 − χ ⋅ E
∴ E0 = (1 + χ ) E ≡ ε r E
dD
D = ε r ε 0 E　を定義すると　= ρ
dx
（物質に依存しないガウスの法則）
+Q
+
+ +
－－
E0
+
EP
+
V
－－－
-Q
dE0 ρ
=
dx ε 0
ガウスの法則
dE0
dE ρ
= εr
=
dx
dx ε 0
dE
ρ
∴
=
dx ε r ε 0
7
ポアソンの方程式(Poisson’s Equation)
電位の定義
E=−
dV
= −∇V（ベクトル解析の　3D記法）
dx
ρ
dE ρ
=
=
∇
•
E
=
（ベクトル解析の　3D記法）
ガウスの法則 dx ε
ε0
0
ポアソンの方程式
ρ
d 2V
− 2 =
ε rε 0
dx
ρ
∂2
∂2
∂2
− ∇ • ∇V = −ΔV = −( 2 + 2 + 2 )V =
（ベクトル解析の3D記法）
ε rε 0
∂x
∂y
∂z
ポアソンの方程式により、電荷の分布 ρ(x) から電位分布V(x)を計算できる
8
移動度μと電子濃度nと電流Ιの関係
v = −μn E
-q
E: 電界(V/m)
μn:電子の移動度(m2/Vs)
-q: 電子の電荷(クーロン)
速度v
電子
速度v
面積S
電子密度 n
（単位体積の電子数）
（速度と電界が比例すると仮定）
単位時間に面積Sを通過する電子数N
N = n⋅v⋅S
電流： I = −q ⋅ N = −q ⋅ n ⋅ v ⋅ S = −q ⋅ n ⋅ μ n ⋅ E ⋅ S
I
電流密度： J = = −q ⋅ n ⋅ μ n ⋅ E
S
9

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