対角成分を慣性モーメントと呼ぶ

剛体を考える前に、
多重積分を説明する
1
多変数の積分を考える前に。
１変数の積分は高校で勉強した通り。
F ( x)   f ( x)dx
dF ( x)
 f ( x)
dx
y  f (x)
傾き
g’(x0)
y=g(x)
x1

x2
x1
x2
x
f ( x)dx
積分は図形的には、
面積を表す。
x0
x
微分は図形的には、
傾きを表す。
2
多変数の積分を考える前に。
１変数の積分は高校で勉強した通り。
F ( x)   f ( x)dx
dF ( x)
 f ( x)
dx
y  f (x)
傾き
g’(x0)
y=g(x)
x1

x2
x1
x2
x
f ( x)dx
積分は図形的には、
面積を表す。
x0
x
微分は図形的には、
傾きを表す。
3
偏微分：２変数以上の関数である１つの変数について微分する。
復習
p( x, y )
 q ( x, y )
x

x
：xについて微分する。(ｙを一定とみる）
「偏微分」と呼ぶ。
図形的には、z=p(x,y)の関数を、
y一定の断面で見た時の、傾き
z
y
x
4
次に多変数の積分を
定義します。
5
２変数の積分
F ( x, y )   dy  dx f ( x, y )
２段階で定義。
g ( x, y )   dx f ( x, y )
F ( x, y )   dyg ( x, y )
g ( x, y )
 f ( x, y )
x
F ( x, y )
 g ( x, y )
y
順番に積分すればよい。
大部分の場合は積分順序によらないので、
積分しやすい方を先にすればよい。
z=f(x,y)
図形的には、曲面z=f(x,y)の下の体積
次のページに詳しい説明。
y
x
6
積分の幾何学的意味
y=f(x)
y
１変数の積分：曲線の下の面積
 f ( x)dx
x
0
図のような微小な幅の帯を考えると、
幅がdx, 高さがf(x)。
これの和が積分なので、面積に対応する。
f(x)
dx
２変数の積分：曲面の下の体積
 dx  dy f ( x, y)
f(x,y)
dx
次のページに例。
dy
7
重積分の例
d
a
c
I   dx  dy f ( x, y )
f ( x, y )  x sin y
3
1
b
の場合

1

I   dx  dyx sin y   x dx  2 dy sin y
0
2
0
3
3
0
0

 x4 
1
1
2
   cos y 0   1 
4
4
4
8
２変数の積分：曲面の下の体積
f(x,y)=xyのグラフ
y
f(x,y)
dx dy
問題
z=xy, xy平面、x=a, y=bで
x
囲まれる立体の体積を求めよ。(a>0, b>0)
特に、a=10, b=10の時、体積はどうなるか？
辺の長さが10,10,100の直方体の何パーセントの体積か？
9
解答
 dx  f ( x, y)dy
10

0
のf(x,y)に、xyを代入する。
10
10
10
0
0
0
dx  xydy   xdx
10
10
x   y 
ydy     
 2 0  2 0
2
2
を計算すればよい。
10
ギリシャ文字
「割合」に使うことが多い。
 ロー密度 kg/m3
ω
θ
φ
オメガ角速度 rad/s
シータ
ファイ
角度
rad
 弧の長さ
 
r
半径
11
ここから物理にもどる。
剛体とは。
慣性モーメント
12
剛体とは
教科書
p.65
大きさを持った物体。
しかし、変形、膨張圧縮はしない。
形や体積は一定。
（形や体積が変わる場合は、
弾性体力学や流体力学で考える。）
質点の集まりと考えればよい。
13
質点系の角運動量
質点の角運動量は、
L  r  mv
質点系の場合、質点miの位置、速度をri, viとして、
L
r
i
 mi v i
i
質量が連続的に分布している場合は積分で置き換える。
 ( x, y , z )
L   (r  v )  ( x, y, z )dxdyd z
密度：単位体積中の
質量。
dz dy
dx
r
o
14
v
記号の説明
N
a
i 1
r
i
i
 シグマ
和（たし算）
 a1  a 2  a 3    a N
 mi v i
 r1  m1v1  r2  m 2 v 2  
i
質点1
質点2
15
質点系
剛体の角運動量
L
質量が連続的に分布している場合は
積分で置き換える。
r
i
 mi v i
i
質量＝密度×体積
L   (r  v )  ( x, y, z )dxdyd z
密度：
単位体積中の
質量。
 ( x, y , z )
dz
o
r
dx
dy
16
 ( x, y , z )
の意味
場所(x,y,z)によって値が違う。
１変数だとf(x)など。
例：人間は場所によって密度が違う。
頭は密度が高い。
手は密度が低い。
17
角運動量に戻ると、
角速度ωで回転している、物体の角運動量は、 (質点の場合)
密度をρとして、
L  r  mv
v  ω r
L   (r  (ω  r )) dxdydz
(以前やった)
問題 r=(x,y,z), ω=(ωx,ωy,ωz)を使って、
角運動量は以下のように書けることを示せ。
L  Iˆω
 I xx

ˆ
但し、
I   I yx
 I zx
2
2
I xx   ( y  z ) dxdydz 
I xy    xydxdydz
I xy
I yy
I zy
I xz 

I yz 
I zz 
＾：ハットと読む。
18
補足：行列とベクトルの積
 b1   A11
  
 b2    A21
b   A
 3   31
A12
A22
A32
A13  d1 
 
A23  d 2 
A33  d 3 
b  Ad
 A11d1  A12 d 2  A33 d 3 


  A21d1  A22 d 2  A23 d 3 
A d A d A d 
32 2
33 3 
 31 1
19

解答 L  (r  (ω  r )) dxdyd z に成分を代入する。
外積の成分での表示は（復習）
A   A1 , A2 , A3 , B  B1 , B2 , B3 
に対して、
A  B   A2 B3  A3 B2 , A3 B1  A1 B3 , A1 B2  A2 B1 
ω   x , ｙ ,  z 
r  x, y, z 
に対して、
ω  r  ｙ z   z y,  z x   x z ,  x y   y x 
20
解答
ω  r  ｙ z   z y,  z x   x z ,  x y   y x 
r  x, y, z 
 y  x y   y x   z ( z x   x z ) 


r  ω  r    z (ｙ z   z y )  x( x y   y x) 


 x( z x   x z )  y (ｙ z   z y ) 
 ( y 2  z 2 )  xy　 zx   x 

 
   xy　( z 2  x 2 )  yz   y 

 
2
2
  zx　 yz　( x  y )  

 z 
各成分に
dxdydz
をかけて積分する。
21
教科書p.71
角運動量の続き
 I xx
ˆI   I yx

 I zx
前問より、
L  Iˆω
I xx   ( y  z ) dxdydz
2
2
I xy
I yy
I zy
I xz 

I yz 
I zz 
I xy    xydxdydz
対角成分を慣性モーメントと呼ぶ。（非対角成分は、慣性乗積）。
22
慣性モーメント
慣性モーメントを書き換えると、
I   r dm
2
rは軸までの距離。
例えばIxなら、x軸までの距離は、
r2=y2+z2
dmは質量の微小部分
23
慣性モーメントが大きいと、
・回し始めは回りにくい。
・いったんある速度で回ると、止まりにくい。
23
微小部分とは
数学的には、
x
dx
(デルタｘ) xの差（有限）
difference of x
x  x2  x1
(ディーx)
微小の（無限に小さい）x
differential of x
図に描くときは、dxは有限の大きさで書く。
（無限に小さいと見えないため。）
dx
x   dx
x
微小部分をたくさん加えると、
全体の長さになる。
24
いろいろな微小部分
dx
長さの微小部分
x   dx
微小部分dxの和は、全体の長さ
曲線の場合も同様
ds
s   ds
微小長さの和は、曲線全体の長さ
面積の微小部分
S   dS
surface
曲面の面積は、
微小面積dSの和。
体積の微小部分
V   dV
volume
微小体積をたくさん加えると
全体の体積になる。
25
質量の微小部分
微小質量をたくさん加えると、
全体の質量になる。
m   dm
１次元
dx
dm  dx 
線密度（単位長さ当たりの質量）
２次元表面なら、
dm  dxdy

面積密度（単位面積当たりの質量）
３次元の立体なら、
dm  dxdydz

密度（単位体積当たりの質量）
26
剛体の運動
重心の運動以外に、「回転」を考える必要がある。
力のモーメント
dL
dt
N
N  rF
角運動量Lは、剛体の場合は、
前回の計算より、
L  Iˆω
行列
Iˆ
F
m
r
ω 角速度ベクトル（回転ベクトル）
の対角成分が慣性モーメント。
慣性モーメント
I   r 2 dm
dmは質量の微小部分
rはdmから軸までの距離。
軸が大事。
27
同じ剛体でも、軸が違えば、慣性モーメントが違う。
慣性モーメントを求めてみよう
28
慣性モーメント
I   r 2 dm
rは軸までの距離。
dmは質量の微小部分
ある軸の周りの回転しにくさを表す量
問題質量Ｍ、長さ2ℓの細い一様な棒の、
図の軸(中心を通る）の周りの慣性モーメントを求めよ。
2ℓ
教科書p.71
29

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