none

ここから物理にもどる。
剛体とは。
慣性モーメント
1
剛体とは
教科書
p.65
大きさを持った物体。
しかし、変形、膨張圧縮はしない。
形や体積は一定。
（形や体積が変わる場合は、
弾性体力学や流体力学で考える。）
質点の集まりと考えればよい。
2
質点系の角運動量
質点の角運動量は、
L  r  mv
質点系の場合、質点miの位置、速度をri, viとして、
L   ri  mi v i
i
質量が連続的に分布している場合は積分で置き換える。
 ( x, y, z)
L   (r  v)  ( x, y, z )dxdyd z
密度：単位体積中の
質量。
dz dy
dx
r
o
3
v
記号の説明
N
a
i 1
r
i
i
 シグマ
和（たし算）
 a1  a 2  a3    a N
 mi v i
 r1  m1v1  r2  m2 v 2  
i
質点1
質点2
質点系
剛体の角運動量
質量が連続的に分布している場合は
積分で置き換える。
L   ri  mi v i
i
質量＝密度×体積
L   (r  v)  ( x, y, z )dxdyd z
密度：
単位体積中の
質量。
 ( x, y, z)
dz
o
r
dx
dy
5
 ( x, y, z)
の意味
場所(x,y,z)によって値が違う。
１変数だとf(x)など。
例：人間は場所によって密度が違う。
頭は密度が高い。
手は密度が低い。
6
角運動量に戻ると、
角速度ωで回転している、物体の角運動量は、 (質点の場合)
L  r  mv
密度をρとして、
v  ω r
L   (r  (ω  r )) dxdyd z
(以前やった)
問題 r=(x,y,z), ω=(ωx,ωy,ωz)を使って、
角運動量は以下のように書けることを示せ。
L  Iˆω
 I xx

ˆ
但し、
I   I yx
 I zx
2
2
I xx   ( y  z ) dxdydz 
I xy    xy dxdydz
I xy
I yy
I zy
I xz 

I yz 
I zz 
＾：ハットと読む。
7
解答
L   (r  (ω  r ))dxdydz
に成分を代入する。
外積の成分での表示は（復習）
A   A1 , A2 , A3 , B  B1 , B2 , B3 
に対して、
A  B   A2 B3  A3 B2 , A3 B1  A1 B3 , A1 B2  A2 B1 
ω   x , ｙ , z 
r  x, y, z 
に対して、
ω  r  ｙ z  z y, z x  x z, x y  y x
8
解答
ω  r  ｙ z  z y, z x  x z, x y  y x
r  x, y, z 
 y  x y   y x   z ( z x   x z ) 


r  ω  r    z (ｙ z   z y )  x( x y   y x) 


 x( z x   x z )  y (ｙ z   z y ) 
 ( y 2  z 2 )  xy　 zx   x 

 
   xy　( z 2  x 2 )  yz   y 

 
2
2
  zx　 yz　( x  y )  

 z 
各成分に
dxdydz
をかけて積分する。
9
教科書p.71
角運動量の続き
 I xx

Iˆ   I yx
 I zx
前問より、
L  Iˆω
I xx   ( y  z ) dxdydz
2
2
I xy
I yy
I zy
I xz 

I yz 
I zz 
I xy    xydxdydz
対角成分を慣性モーメントと呼ぶ。（非対角成分は、慣性乗積）。
慣性モーメント
慣性モーメントを書き換えると、
I   r 2 dm
rは軸までの距離。
例えばIxなら、x軸までの距離は、
r2=y2+z2
dmは質量の微小部分
11
慣性モーメントが大きいと、
・回し始めは回りにくい。
・いったんある速度で回ると、止まりにくい。
微小部分とは
数学的には、
x
dx
(デルタｘ) xの差（有限）
difference of x
x  x2  x1
(ディーx)
微小の（無限に小さい）x
differential of x
図に描くときは、dxは有限の大きさで書く。
（無限に小さいと見えないため。）
dx
x   dx
x
微小部分をたくさん加えると、
全体の長さになる。
いろいろな微小部分
dx
長さの微小部分
x   dx
微小部分dxの和は、全体の長さ
曲線の場合も同様
ds
s   ds
微小長さの和は、曲線全体の長さ
面積の微小部分
S   dS
surface
曲面の面積は、
微小面積dSの和。
体積の微小部分
V   dV
微小体積をたくさん加えると
全体の体積になる。
volume
質量の微小部分
微小質量をたくさん加えると、
全体の質量になる。
m   dm
１次元
dx
dm  dx 
線密度（単位長さ当たりの質量）
２次元表面なら、
dm  dxdy

面積密度（単位面積当たりの質量）
３次元の立体なら、
dm  dxdydz

密度（単位体積当たりの質量）
剛体の運動
重心の運動以外に、「回転」を考える必要がある。
力のモーメント
dL
dt
N
N  rF
角運動量Lは、剛体の場合は、
前回の計算より、
L  Iˆω
行列
Iˆ
F
m
r
ω 回転ベクトル
の対角成分が慣性モーメント。
慣性モーメント
I   r 2 dm
dmは質量の微小部分
rはdmから軸までの距離。
軸が大事。
15
同じ剛体でも、軸が違えば、慣性モーメントが違う。
慣性モーメントを求めてみよう。
16
慣性モーメント
I   r 2dm
rは軸までの距離。
dmは質量の微小部分
ある軸の周りの回転しにくさを表す量
問題質量Ｍ、長さ2ℓの細い一様な棒の、
図の軸(中心を通る）の周りの慣性モーメントを求めよ。
2ℓ
教科書p.71
17

解答 I  r 2 dm
rは軸までの距離。
dmは質量の微小部分
z
dx
M
-ℓ
0
x
ℓ
線密度（単位長さ当たりの質量）をρとする。
dm=ρdx,
3

I   x 2 dx  2 

3

ρ＝M/(2ℓ）より、
M 2
I 
3
18
解答続き：別解1
z
y方向の厚みをbとする。
z方向の高さをcとする。
体積密度をρとする。
ρ=M/(2ℓbc)
y
M
0
-ℓ
dx
x
ℓ
dm  dxdydz

b
c

0
0

I   dx dy dzx     dxx
2

2
b
c
0
0
 dy dz
2 3
M 2

bc 
3
3
19
解答続き：
別解２
x-ℓ dx
M
xを棒の端からとる。
0
I 
2
0
x
2ℓ
x 2
3


( x  )
2 
2
( x  ) dx   


3
 3  x 0
ρは線密度で、ρ＝M/(2ℓ）より、
3
M 2
I 
3
20
慣性モーメント続き
（重積分）
問題質量Ｍの長方形の板ABCDがあり、
AB, BDの長さはそれぞれ2a, 2bであるとする。
A 2a
M
C
B
2b
D
(a) 長方形と同じ面内で、AB, CDの中点を通る軸の周りの
慣性モーメントを求めよ。
(b) 中心を通り、長方形に垂直な軸の周りの
慣性モーメントを求めよ。
21
(a)の解答
z
b
図のように座標をとる。
y方向の厚さをcとする。
y
x
dx
0
a x
座標(x,y,z)にある
微小部分を考えると、
M   (2a)(2b)c
dm  dxdydz
回転軸までの距離はx
a
b
c
a
b
0
a
I   dx dz dyx     dxx
3
4a
Ma

bc 
3
3
2
a
2
b
c
b
0
 dz dy
2
22
z
(b)の解答
y
図のように座標をとる。
x
座標(x,y,z)にある
微小部分を考えると、
dm  dxdydz
M   (2a)(2b)c
回転軸までの距離rは r 2  x 2  y 2
a
b
c
a
b
0
a
b
a
b
y
I   dx dy dz( x 2  y 2 ) 
x
 c  dx dy( x 2  y 2 )
a
b
a
b
2

 c  dxx  dy   dx y 2 dy 
b
a
b
 a


 2a 3
2b 3  M a 2  b 2
 
 c
2b  2a
3 
3
 3

23
慣性モーメントの続き。
問題
教科書p.72
一般に慣性モーメント
I   r 2 dm
rは軸までの距離。
dmは質量の微小部分
を重心を通らない軸の周りで求めたいとする。
重心を通る軸（図）の周りの慣性
モーメントIGを使って、
I  I G Mb
2
(bは２つの軸間の距離）
と書けることを示せ。
これを使って、棒の端を通る軸の周りの
慣性モーメントを求めよ。
M
b
2ℓ
24
円筒座標をやる前に
復習をします。
１．三角関数の復習（高校数学）
２．２次元極座標の復習（高校の数学Ｂ）
３．円筒座標の復習（前期）
25
三角関数の
復習
高校の数学１，数学２
図のように、直角三角形を置く。
（角度φが水平からの角度、直角部分が右下）
水平の辺
cos 
斜辺
垂直の辺
sin ＝
斜辺
斜辺
φ
水平の辺
高校では、角度はθ（シータ）を用いたが、
後で極座標や円筒座標と比較するために、
φ（ファイ）を使っている。
垂直の辺
２次元極座
標
高校の数学Cの復習
質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,φ)で表す。
x  r cos
y  r sin 
y
P(x,y)
r
r≧0
0≦φ＜2π
高校ではθを使うが、
後の都合でφを
使っている。
0
φ
x
質問：なぜφの範囲を0からπにして、
rをマイナスも考えないか？
ぐるっと回った時に、
rがプラスからマイナスになるのは、
不連続な変化になってしまう。
rはずっとプラスにしておく。
y
0
x
２次元極座標、続き
r=一定の図形
y
半径rの円
x
0
φ=一定の図形
半直線
y
0
x
少し質点に戻って。。
円筒座標系
粒子と一緒に動く
座標系
30
教科書p.2の1-1図の右
z
質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。
円筒座標系
x  r cos
y  r sin 
zz
φ(ファイ）
0
x
P(x,y,z)
φ r
Q
点P(x,y,z)のxy平面上への射影を
Qとする。
OQの長さがr, x軸からOQへの角度がφ
角度によく使う記号。
0≦φ＜2π
問題円筒座標系で、下記の条件を満たす点の集合は、
どのような面になるか。それぞれ３次元空間内に図示せよ。
(a)r=一定
(b) φ=一定 (c)z=一定
31
y
教科書p.2の1-1図の右
円筒座標
z
P
0

x
P(x, y, z)
y
r
Q
x  r cos
y  r sin 
zz
y
xy平面
Q
r

O
x
32
問題の解答
z=一定
x
z
0
xy面からの距離が一定。
無限に広がる平面
y
例：床から3mの高さの点の集合は、
天井になる。
問題の解答
r=一定
r
x
0
y
円筒座標のrの定義に注意。
xy平面に射影した時の原点からの
距離
（つまり、z軸との距離）
r=一定は、円筒の側面になる。
上下に無限に続いている。
例１：海苔の缶の側面だけ。これが無限に広がったもの。
例２：トイレットペーパーの芯の部分が
無限に広がったもの。
問題の解答２
φ一定
φはxy面上に射影した時の、
x軸からの角度。
0
x

y
φ=一定の図形は、
半平面。上、下、rが大きくなる方向
に無限に広がる。
z軸の反対側には行かない。
φの範囲は0から2π。
反対側は違うφになる。
参考：極座標（後期に詳しくやります。）
z
θ
0
x

P
P(x,y,z)
z
r
Q
r
Q
θ
y
O
y
y
Q
O

x
x
角度が２種類必要。片方がθ、もう片方がφ。
-> 円筒座標の角度φと同じ測り方。
rの取り方が違うことに注意。
極座標では原点からの距離。
円筒座標では、xy面上に射影してから、原点からの距離。
極座標は球対称な場を考えるときに使う。
例：電荷が球状に分布している場合。
36
円筒座標を使うメリット
・円運動、らせん運動、円筒の
対称性を持つ系
（例えば直線電流の周りの磁場）を
扱いやすい。
37
次に
円筒座標系の
基本ベクトルを求める。
（粒子が動くと、基本ベクトルも動く。）
38
基本ベクトルと
は
長さが１
お互いに直交する。
３次元なら３個
（２次元なら２個）
座標系によって、基本ベクトルが違う。
その座標系のベクトルを、
基本ベクトルを使って書く。
1) 直交座標
2) 円筒座標
3) 極座標（後期にやります。）
直角座標系の基本ベク
トル
ex , e y , ez
x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル（長さ１）。
x, y, zがそれぞれ増える方向
z
成分で書くと、
e x  (1,0,0)
ez
e y  (0,1,0)
e z  (0,0,1)
ex
O
y
ey
終点
x
始点
ベクトルの始点（矢印の根元）を原点に置いた時の、
ベクトルの終点（矢印の先）の座標で表す。
動径ベクトル
r
radius vector
位置ベクトルとも言う。
r  xex  ye y  zez
z
ある原点Ｏからのベクトル。
P(x,y,z)
r
ez
ex
x
復習
O
ey
y
41
円筒座標系の基本ベクトル
x  r cos
y  r sin 
zz
円筒座標系の基本ベクトル。
長さは１で、点Pにおいて、
er
e
ez
rが増える向き。
φが増える向き
z
0
φ r
P(x,y,z)
y
x
x軸、y軸、z軸は、
空間に固定されている。
注意：
e
点Pにおいて、r,zは
一定で、φが微小量だけ
増える向き。
zが増える向き。
問１：er , e , ez を図示せよ。
問２： er , e , e z のx,y,z成分が
右のようになることを示せ。
e r  cos sin  0
e   sin  cos 0
e z  0 0 1
42
解答：基本ベクトルの図示
z
e
er
0
r

x
y
xy平面
ez
ez
y
はz軸方向の長さ１のベクトル。
e z  0 0 1
erとe
はxy平面内のベクトル。
z成分はゼロ。
e
er
r

x
er
はx軸と角度φなので、
e
は
er  cos sin  0
er
と垂直な方向。
e   sin  cos 0
O
43
解答：基本ベクトルの図示
er
e
1
1
α
φ
α
er  cos sin  0
φ
φ+α=90°
e   sin  cos 0
44
解答：基本ベクトルの成分表示
前問の結果から、円筒座標の基本ベクトルのx,y,z座標は、
e r  cos sin  0
e   sin  cos 0
e z  0 0 1
x,y,z方向の基本ベクトルを使って書くと、
er  e x cos  e y sin 
e  e x sin   e y cos
45
解答補足：円筒座標系の基本ベクトルの図示
z
0
x

ez
e
er
r
y
基本ベクトルは、数学のベクトルなので、
平行移動してよい。
円筒座標や極座標を物理で使う時は、
粒子のいる位置を始点に矢印を書くことが多い。
46

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