非線形方程式に対する反復解法非線形方程式とは？方程式 f（x）＝０（f（x）はxの関数） f（x）は線形（一次）  f（x）＝ax + b f（x）は非線形  それ以外の関数 2次式、 3次式：　5x 2  4 x  7, 高次式：　x10  2 x7  4x x 2 三角関数：　sin( x  x )  2 指数関数：　exp( x)  5 x3  2 x 2  4 x  1 反復解法の必要性一次、二次の方程式：公式を使えば簡単！三次の方程式：頑張れば手計算で解けるかも… 一般の非線形方程式：手計算で解くのはほとんど無理コンピュータ＋アルゴリズムの利用反復解法 x を繰り返し更新、近似的な解を求める反復解法の種類 • • • • • 二分法はさみうち法割線法（セカント法）ニュートン‐ラフソン法減速ニュートン法今週説明来週説明二分法（その1）「中間値の定理」に基づく方法 f (a)  0, f (b)  0  f (c)  0を満たすcがaと bの間に存在する f（c）＝０ a f(a)<0 f(b)>0 c b 二分法（その2） 1. f(a)<0 なる a と f(b)>0 なる b を求める 2． c=(a+b)/2 とおく 3． f(c) の絶対値が十分小さい => 終了 4． f(c)>0 ならば b = c, f (c) <0 ならば a = c とおく 5． 1へ戻る f(b)>0 f(c)の絶対値は大きい a f(a)<0 b c=(a+b)/2 f(c)>0 なので b = c 二分法（その３） 2． c=(a+b)/2 とおく 3． f(c) の絶対値が十分小さい => 終了 4． f(c)>0 ならば b = c, f (c) <0 ならば a = c とおく 5． 1へ戻る f(c)<0 なので a = c c=(a+b)/2 a f(a)<0 f(b)>0 b f(c)の絶対値はまだ大きい二分法（その4） f(b)>0 a f(a)<0 a b b 方程式の解が見つかる！ b はさみうち法（その1） a b 二分法の場合： c  2 はさみうち法の場合： a f (b)  b f (a) c f (b)  f (a) c  2点(a, f (a))と (b, f (b))を結ぶ線分と x軸の交点 f(b)>0 a f(a)<0 c b f(c)>0 なので b = c はさみうち法（その2） c  2点(a, f (a))と (b, f (b))を結ぶ線分と x軸の交点 c a f(a)<0 f(b)>0 b f(c)<0 なので a = c はさみうち法（その3） f(b)>0 a f(a)<0 a b 方程式の解が見つかる！ b 反復解法の性能評価よい反復解法とは？ •わかりやすい •プログラムを組みやすい •反復回数が少ない •解の精度が良い  f(x) の絶対値がほとんど０今週の課題（その１）１. レポート用紙に書かれた関数に対して自分の手で二分法・はさみうち法を実行し、解を求めよ。また、二分法及びはさみうち法それぞれが得意・不得意とするする関数はどのようなものか、自分の考えを述べよ。締め切り：12月15日（金）11時まで問題1：所定のレポート用紙に書いて提出問題2,3：PCを使って提出今週の課題（その２） 2. はさみうち法のプログラムを作れ。（二分法のプログラムを参考に） 3. 下記の3種類の方程式に対して二分法、はさみうち法を適用し、反復回数および解の精度を比べて2つの解法を評価せよ。 (1) a cos(x)  bx　（解の探索区間は [20,20])　(2) ax3  x 2  b　（解の探索区間は [20,20]) (3) ax  exp(bx) （解の探索区間は [0,20]) なお、上記の式の中で a =学籍番号の下二桁目（０の場合は１０） b = 学籍番号の下一桁目（０の場合は１０）とする。例えば、A0071321の学生の場合 a = 2, b = 1