+ ax + b P(x)=(x + 2)(x

例題
(整式の割り算 N o.1)
(1) 整式 P (x) を x + 2 で割った余りが 20，2x2 − 5x + 2 で割った余りが 2x + 4 のとき，
P (x) を x2 − 4 で割ったときの余りを求めよ。
(2) 整式 P (x) を x2 + 5x + 2 で割った余りが 2x − 3, x − 1 で割った余りが 7 のとき，P (x)
を (x2 + 5x + 2)(x − 1) で割った余りを求めよ。
整式の割り算
(i) Q(x) 消去型
(ii) 余り変形型
〔解答〕
(1) 整式 P (x) を x + 2 で割った余りが 20 であるから
1
···⃝
P (−2) = 20
P (x) を 2x − 5x + 2 で割ったときの商を Q(x) とおくと
2
P (x) = (2x2 − 5x + 2)Q(x) + 2x + 4
2
= (2x − 1)(x − 2)Q(x) + 2x + 4 · · · ⃝
P (x) を x2 − 4 で割ったときの商を Q′ (x)，余りを ::::::
ax + b ←−
とおくと
2 次式で割るので，
余りは 1 次式以下。
P (x) = (x2 − 4)Q′ (x) + ax + b
と表せる。
P (x) = (x + 2)(x − 2)Q′ (x) + ax + b
3
···⃝
2 より，P (2) = 8 であるから，⃝,
1
3 より
⃝
⃝
P (−2) = −2a + b = 20
P (2) = 2a + b = 8
4
···⃝
(i) Q(x) 消去型
Q(x) が消えるような
数値を代入します。
5
···⃝
4
5 より a = −3, b = 14
⃝,
⃝
したがって，求める余りは −3x + 14
(2) 整式 P (x) を x − 1 で割った余りが 7 であるから
1
···⃝
P (1) = 7
P (x) を (x + 5x + 2)(x − 1) で割ったときの商を Q(x), 余りを
2
ax2 + bx + c とおくと
P (x) = (x2 + 5x + 2)(x − 1)Q(x) + ax2 + bx + c
と表せる。
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
ここで，P (x) を x2 + 5x + 2 で割った余りが 2x − 3 であるので
ax + bx + c = a(x + 5x + 2) + 2x − 3
2
2
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::
と表すことができる。
(ii) 余り変形型
条件を利用し，余りの
文字を減らします。
P (x) = (x2 + 5x + 2)(x − 1)Q(x) + a(x2 + 5x + 2) + 2x − 3
1 より P (1) = 8a − 1 = 7
⃝
⇐⇒ a = 1
よって，求める余りは
(x2 + 5x + 2) + 2x − 3 = x2 + 7x − 1
P (x)
| {z }
= (x2 + 5x + 2)(x − 1)Q(x) + ax2 + bx + c
::::::::::::::::::::::::
x2 + 5x + 2 で割ると 2x − 3 余ります。
↑
この部分は x2 + 5x + 2 で割り切れます。
P (x) を x2 + 5x + 2 で割ったときの余り 2x − 3 は，ax2 + bx + c を
x2 + 5x + 2 で割ったときに出てきます。
ax2 + bx + c を x2 + 5x + 2 で割ると，商が a，
余りが 2x − 3 であるから
a
x + 5x + 2 ax2
ax2 + bx + c = a(x2 + 5x + 2) + 2x − 3
と変形できます。
2
2x − 3
(1) も同じように解くことが可能です。
〔別解〕
(1) P (x) を x2 − 4 で割ったときの商を Q(x)，余りを
ax + b とおくと
P (x) = (x + 2)(x − 2)Q(x) + ax + b
と表せる。
ここで，P (x) を x + 2 で割った余りが 20 であるので
ax + b = a(x + 2) + 20
と表すことができる。
2 より，P (2) = 8 であるから
前ページの⃝
P (2) = 4a + 20 = 8
⇐⇒ a = −3
よって，余りは −3(x + 2) + 20 = −3x + 14
問題
整式 P (x) を (x + 2)3 で割ると x2 + 3x + 4 余り，x − 1 で割ると 2 余る。
(1) P (x) を (x + 2)(x − 1) で割ったときの余りを求めよ。
(2) P (x) を (x + 2)2 (x − 1) で割ったときの余りを求めよ。
+ bx + c
〔解答〕
条件より，ある整式 Q(x) を用いて
1
···⃝
P (x) = (x + 2)3 Q(x) + x2 + 3x + 4
と表すことができる。
2
また，P (1) = 2 · · · ⃝
(1) P (x) を (x + 2)(x − 1) で割ったときの商を Q1 (x), 余りを
ax + b とおくと
P (x) = (x + 2)(x − 1)Q1 (x) + ax + b
と表せる。
1 より，P (−2) = 2，⃝
2 より，P (1) = 2 であるので
⃝
3
P (−2) = −2a + b = 2 · · · ⃝
4
P (2) = 2a + b = 2 · · · ⃝
3
4 より a = 0, b = 2
⃝,
⃝
よって，求める余りは 2
1 より
(2) ⃝
P (x) = (x + 2)3 Q(x) + (x + 2)2 − x
= (x + 2)2 {(x + 2)Q(x) + 2} − x
P (x) を (x + 2)2 で割ると余りは −x
P (x) を (x + 2)2 (x − 1) で割ったときの商を Q2 (x)，余りを
cx2 + dx + e とおくと
P (x) = (x + 2)2 (x − 1)Q2 (x) + cx2 + dx + e
と表せる。
ここで，P (x) を (x + 2)2 で割った余りが −x であるので
cx2 + dx + e = c(x + 2)2 − x
と表すことができる。
2 より
⃝
P (1) = 9c − 1 = 2
⇐⇒ c =
1
3
したがって，求める余りは
1
1
(x + 2)2 − x = (x2 + x + 4)
3
3

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