素数と平方数の奇妙な関係右表は 3 以上の素数を 2 つの平方数の和として表したもので 3= 3 ある。ただしそのように表せないものは空欄にしてある。すると、 5=1+4 1 空欄になっている素数は「4 で割ると 3 余る数」であることに 7= 3 気づく。これは偶然だろうか？ 11= 3 13=4+9 1 17=1+16 1 19= 3 23= 3 29=4+25 1 31= 3 37=1+36 1 41=16+25 1 43= 3 47= 3 53=4+49 1 59= 3 61=25+36 1 67= 3 （ⅰ）1 と (𝑝 − 1) の 2 元はペアの相手がいない（自分自身） 71= 3 （ⅱ）その他の元にはすべてペアの相手がある 73=9+64 1 79= 3 83= 3 89=25+49 1 （6）𝑝 を 4 で割った余りが 1 であるならば、𝑁 の中で 97=16+81 1 𝑖 2 ≡ −1 となる元 𝑖 が存在することを示せ。 101=1+100 1 103= 3 107= 3 （7）元 𝑖 に対し (𝑥 + 𝑦𝑖) が 𝑝 の倍数となるような整数 𝑥, 𝑦 109=9+100 1 （0 ≦ 𝑥 < √𝑝，0 ≦ 𝑦 < √𝑝 ）が存在することを示せ。 113=49+64 1 127= 3 131= 3 137=16+121 1 （1）𝑝 を 3 以上の素数とする。𝑝 を 4 で割った余りが 3 ならば 𝑝 = 𝑥2 + 𝑦2 をみたす整数 𝑥, 𝑦 は存在しないことを示せ。（2）𝑝 の倍数ではない整数 𝑎 に対し、(𝑝 − 1) 個の整数 𝑎，2𝑎，3𝑎，・・・(𝑝 − 1)𝑎 を 𝑝 で割った余りはすべて異なることを示せ。（3）集合 𝑁 = {1, 2, 3・・・(𝑝 − 1)} とする。 𝑁 に属する任意の整数 𝑎 に対し、𝑛𝑎 ≡ 1 (mod 𝑝) となる整数 𝑛 が 𝑁 の中にただ 1 つ存在することを示せ。（4）任意の 𝑎 ∈ 𝑁 に対し 𝑛𝑎 ≡ 1 となる 𝑛 ∈ 𝑁 をペアとみなす。このとき以下の（ⅰ）（ⅱ）を証明せよ。（5）(𝑝 − 1) ! ≡ −1 を示せ。例） 𝑝 = 13 のとき 52 = 25 ≡ −1 (mod 13) よって 𝑖 = 5 （8）𝑝 を 4 で割った余りが 1 ならば 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑝 となる整数 𝑥, 𝑦 が存在することを示し、冒頭の疑問に答えよ。