EQUAZIONI CON IL VALORE ASSOLUTO 3) Risolvere l’equazione: − 2 x 2 + 3x = x Come noto dobbiamo distinguere due casi, ossia quando l’espressione che compare in valore assoluto è positiva e quando è negativa. Dobbiamo quindi risolvere i due sistemi misti: ⎧⎪− 2 x 2 + 3x ≥ 0 ⎨ ⎪⎩− 2 x 2 + 3x = x ⎧⎪− 2 x 2 + 3x < 0 e ⎨ 2 ⎪⎩2 x − 3x = x Consideriamo dapprima il primo sistema: ⎧⎪− 2 x 2 + 3x ≥ 0 ⎨ ⎪⎩− 2 x 2 + 3x = x → ⎧⎪2 x 2 − 3x ≤ 0 ⎨ 2 ⎪⎩2 x − 2 x = 0 La disequazione che vi compare è soddisfatta per: 0 ≤ x ≤ 3 2 L’equazione ammette invece le soluzioni: x1 = 0 e x 2 = 1 Osserviamo che entrambe le soluzioni sono interne all’intervallo in cui è soddisfatta la disequazione, quindi sono entrambe accettabili. Passiamo ora al secondo sistema: ⎧⎪− 2 x 2 + 3x < 0 ⎨ 2 ⎪⎩2 x − 3x = x ⎧⎪2 x 2 − 3x > 0 → ⎨ 2 ⎪⎩2 x − 4 x = 0 La disequazione che vi compare risulta soddisfatta per: x < 0 ∨ x > 3 2 L’equazione ammette invece le soluzioni: x1 = 0 e x 2 = 2 delle quali la prima non è accettabile, perché non compatibile con la disequazione, e la seconda si. Concludendo, le soluzioni dell’equazione sono tre: x1 = 0 6) Risolvere: x2 = 1 x3 = 2 x 2 − 3x = x 2 − 4 x Nell’equazione compare il valore assoluto di un’espressione, quindi l’equazione stessa equivale a due equazioni: la prima che vale dove l’espressione in valore assoluto risulta positiva, e la seconda che vale dove l’espressione risulta negativa. In sostanza l’equazione dà luogo ai due sistemi: ⎧⎪ x 2 − 3x ≥ 0 ⎨ 2 ⎪⎩ x − 3x = x 2 − 4 x ⎧x ≤ 0 ∨ x ≥ 3 ⎨ ⎩ x = 0 (accettabile) ⎧⎪ x 2 − 3 x < 0 ∨ ⎨ 2 ⎪⎩− x + 3x = x 2 − 4 x ⎧0 < x < 3 ⎪ ∨ ⎨ ⎪ x1 = 0 (non accettabile) ⎩ L’equazione ammette quindi come unica soluzione x = 0 x2 = 7 (non accettabile) 2