Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a. 2013-14. Canale 3. Prof. P. Piazza Compito a casa del 17/01/14 (22mo compito) Soluzioni. Parte I e Parte II. Soluzione esercizio 4. (4.1)+ (4.2) Applicare meccanicamente le formule viste a lezione tenendo conto che una base per il sottospazio giacitura di π `e dato da v = P2 − P1 = (−1, 1, 0), v 0 = P3 − P1 = (−1, 0, 1) (scriviamo brevemente P − Q per OP − OQ). (4.3) Prendere il fascio improprio definito dall’equazione di cui in 4.1 e imporre il passaggio per P . Il fascio improprio definito da un piano di equazione ax + by + cz + d = 0 `e, per definizione, la famiglia dei piani paralleli a tale piano e cio`e, per quanto visto a lezione e/o negli appunti 1, la famiglia {ax + by + cz + k = 0, k ∈ R}. Determinate k imponendo il passaggio per P . Soluzione esercizio 5. Il piano coordinato yz ha equazioni x = 0. Il fascio di piani paralleli al piano coordinato yz ha equazione x = d, al variare di d ∈ R. L’equazione cercata `e allora x = 2. Soluzione esercizio 7. Parametri direttori l = 2, m = −1, n = 1. Eq. cart.: possiamo ad esempio ricavare t dalla seconda equazione, t = −y − 2, e sostituirlo nella prima e terza equazione. Otteniamo x − 2(−y − 2) − 1 = 0 x + 2y + 3 = 0 e cio`e z − (−y − 2) − 3 = 0 y+z−1=0 Queste equazioni non sono univocamente determinate (una retta `e l’intersezione di infinite coppie distinte di piani, pensate allo spigolo di un libro). Ovviamente, possiamo anche sfruttare il fatto che deve essere x−1 y+2 z−3 = 1. (1) rg 2 −1 1 Ci` o `e equivalente a  x−1 y+2    det −1 2 x−1 z−3    det 2 1 e queste sono equazioni cartesiane (sviluppando considerare 2 x−1 −1 y + 2 1 z−3 ridurre con Gauss e imporre la compatibilit`a. =0 =0 il determinante). Possiamo anche Soluzione esercizio 8. Basta risolvere esplicitamente il sistema omogeneo associato. Le equazioni parametriche di s le scriviamo immediatamente e da quelle le equazioni cartesiane. 1Vedere la Proposizione 1 1 2 Soluzione esercizio 9. Basta considerare il fascio di piani per la retta data ed imporre il passaggio per il punto (0, 2, 0). Il fascio di piani ha equazioni λ(x − z − 3) + µ(y + 2z − 1) = 0 2 al variare di (λ, µ) in R \ (0, 0). Imponendo il passaggio per (0, 2, 0) si ottiene −3λ + µ = 0 che ha soluzione λ = 1, µ = 3 (a meno di un comune fattore di proporzionalit` a t ∈ R \ 0). Risostituendo questi valori nell’equazione qui sopra, scopriamo che il piano cercato ha quindi equazione x + 3y + 5z − 6 = 0. Soluzione esercizio 10. Dalle equazioni cartesiane di r possiamo scrivere il fascio di piani per r; imponendo il parallelismo con (11, 0, −1) otteniamo un’equazione lineare omogenea in λ e µ e poi procediamo come nell’esercizio 9. Soluzione esercizio 11. Notiamo che il punto non appartiene alla retta; il problema `e quindi ben posto. Si pu`o procedere in (almeno) due modi: si determinano 2 punti distinti sulla retta e si utilizza l’equazione del piano per 3 punti non allineati. Si pu` o altrimenti scrivere l’equazione cartesiana della retta e procedere come nell’Es. 9. Parte III. Soluzione esercizio 1. I vettori direttori delle 2 rette sono 2 vettori di giacitura per il piano; abbiamo quindi un punto e due vettori di giacitura. A questo punto si procede come al solito: le equazioni parametriche del piano sono (x, y, z) = Q0 + tv + sw con v e w vettori direttori delle due rette date, ovvero v = (−3, 4, 1) e w = (1, 1, 4). Un’equazione cartesiana del piano cercato `e dunque x − 1 −3 1 det y − 2 4 1 = 0. z + 1 1 4 ovvero 15x + 13y − 7z − 48 = 0. Soluzioni esercizio 2. Un semplice ragionamento mostra che la retta cercata `e l’intersezione del piano π e del piano per Q e s. Quest’ultimo piano si ottiene con il metodo del fascio; mettendo poi a sistema con l’equazione cartesiana di π si ottengono le equazioni della retta cercata. Esplicitamente, il facio di piani contenenti la retta s `e λ(x − 2z + 4) + µ(2y − z) = 0, (λ, µ) 6= (0, 0) Imponendo il passaggio per Q otteniamo l’equazione 5λ − µ = 0 e possiamo prendere (λ, µ) = (1, 5). Ogni altra soluzione differisce da questa solo per un fattore scalare, dunque tutte le soluzioni corrispondono allo stesso piano in R3 . L’equazione che otteniamo con la scelta (λ, µ) = (1, 5) `e x + 10y − 7z + 4 = 0 3 La retta cercata ha dunque equazioni x+y+z+3=0 x + 10y − 7z + 4 = 0