Equazioni e disequazioni irrazionali

Un'equazione o una disequazione è irrazionale se contiene almeno un radicale nel cui radicando
compare l'incognita.
EQUAZIONI IRRAZIONALI
Occorre considerare due casi:
• l’indice della radice è pari
• l’indice della radice è dispari
INDICE PARI (es.2)
A(x) = B(x)
Le soluzioni sono ottenute risolvendo il sistema
A(x) ≥ 0
B(x) ≥ 0
A (x) = [B(x)]
2
Esercizio
x2 + x − 2 = x + 1
Individuo
A(x)= x 2 + x − 2
B(x)= x+1
costruisco il sistema
x2 + x − 2 ≥ 0
Risolvo la parabola
x+1 ≥ 0
x ≥ -1
x 2 + x − 2 = (x+2)2
Risolvo l’equazione
x ≤ −2 e x ≥ 1
…
x ≥ -1
x = -3
Costruiamo il grafico delle prime due disequazioni
Dai grafici risulta che le prime due disequazioni sono verificate per x ≥ + 1 allora possiamo
concludere che la soluzione x = -3 non è accettabile. L’equazione è impossibile.
INDICE DISPARI (es. 3)
3
A(x) = B(x)
Le soluzioni sono ottenute risolvendo la seguente equazione
3
A (x) = [B(x)]
Esercizio
3
x3 − 7 = x − 1
Individuo
A(x)= x 3 − 7
B(x)= x - 1
Risolvo l’equazione
3
x 3 − 7 = ( x − 1)
risolvo (osserva c’è il cubo di un binomio) e semplifico ottenendo
x2 − x − 2 = 0
Le soluzioni dell’equazione di secondo grado sono le soluzioni dell’equazione irrazionale certa
x = -1 e x= +2
Esercizio di preparazione per la verifica:
x2 + x − 2 = x + 1
x2 − x = x + 1
soluz. -2 e +2
x +1 = x +1
soluz. 0 e -1
3
x3 − 7 = x − 1
3
x3 + 1 = x − 1
soluz. 0 e -1
5
x3 − 1 = 1
soluz. 2
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
Analogamente alle equazioni irrazionali occorre considerare due casi:
• l’indice della radice è pari (contiene due casi)
• l’indice della radice è dispari
INDICE PARI (es.2)
Consideriamo due sottocasi
1° CASO (verso della disequazione minore)
A(x) < B(x)
La disequazione avrà per soluzioni i valori che verificano il seguente sistema
A(x) ≥0
B(x)>0
A (x) < [B(x)]
2
Esercizio
25 − x 2 < x − 1
Individuo:
A(x)= 25 − x 2
B(x)= x-1
La disequazione avrà per soluzioni i valori che verificano il seguente sistema
25 − x 2 ≥0
Risolvo la parabola
x-1> 0
x > +1
25 − x 2 < (x-1)2
Dal grafico otteniamo la soluzione
Risolvo l’equazione
4< x≤5
− 5 ≤ x ≤ −5
…
x >1
x < −3 e x > +4
2° CASO (verso della disequazione maggiore)
A(x) > B(x)
La disequazione avrà per soluzioni i valori che verificano i seguenti sistemi
B (x) ≥ 0
A (x) > [B(x)]
2
∨
A (x) ≥ 0
B (x) < 0
Esercizio
Ex:
x 2 − 1 > x+3
Individuo:
A(x)= x2 -1
B(x)= x+3
La disequazione avrà per soluzioni i valori che verificano i seguenti sistemi
x +3 ≥ 0
x2-1 > (x+3)2
∨
x2 -1 ≥ 0
x ≥-3
….
x+3<0
x < -5/3
∨
x≤-1
e
x <-3
Grafico primo sistema
La soluzione del primo sistema è - 3 ≤ x < -5/3
Grafico secondo sistema
La soluzione del secondo sistema è x < -3
Uniamo le soluzioni dei due sistemi ed otteniamo la soluzione della disequazione x < -5/3
x≥1
Esercizio di preparazione per la verifica:
25 − x 2 < x − 1
x − 3 < 2x − 1
soluz. x > 3
x2 − 4 < 4 − x
soluz x <= -2 e 2<= x< 5/2
x 2 − 1 > x+3
− x + 3 > x-3
4 x + x 2 > 1+x
soluz. x < 3

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