SUGGERIMENTI PER LA RISOLUZIONE DELLE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Risolvere una disequazione goniometrica significa trovare per quali intervalli di valori angolari, la disuguaglianza risulta verificata. In generale le soluzioni si studiano tra 0 e 2π. Per la risoluzione è necessario trasformare la disequazione originale in una equivalente nella quale appaiono fattori che contengono solo funzioni elementari in seno, coseno e tangente. Per prima cosa è sempre necessario definire il domino della disequazione. Se appare la funzione tangente, escludere i valori nella quale non è definita. Se sono presenti delle frazioni, escludere i valori che annullano i denominatori. Dopo aver definito il dominio dobbiamo risolvere l’equazione associata alla disequazione. Se l’equazione è costituita da un prodotto o un quoziente tra funzioni trigonometriche, studieremo le equazioni separatamente e troveremo la soluzione con la regola dei segni. Esempio: (tg x + √3) (2 cos2 x -1) ≤ 0 Condizioni di esistenza per la tangente: x ≠ π/2 + k π • Segno del primo termine: tg x > - √3 → equazione associata tg = - √3 Soluzioni dell’equazione associata: x = 2/3 π + k π Possiamo utilizzare il grafico della funzione tangente oppure la circonferenza goniometrica Oppure Quindi le soluzioni della disequazione tg x > - √3 tra 0 e 2π sono 0 < x < π/2 ∨ 2/3 π < x < 3/2 π ∨ 5/3 π < x < 2 π • Segno del secondo termine (2 cos2 x -1) > 0 → cos2 x > ½ e equazione associata cos2 x = ½ Si tratta di un’equazione di secondo grado con soluzioni cos x = ± (1/√2) Se sostituisco cos x = K ottengo l’equazione K2 = ½ che rappresenta una parabola. La disequazione K2 > ½ è soddisfatta per valore esterni alle soluzioni (-1/ √2) e (1/√2) Abbiamo quindi due disequazioni goniometriche da risolvere: • cos x < (-1/ √2) → equazione associata cos x = -1/ √2 con soluzioni x = ¾ π e x = 5/4 π Quindi ¾ π < x < 5/4 π • cos x > (+1/ √2) → equazione associata cos x = 1/ √2 con soluzioni x = 1/4 π e x = 7/4 π Quindi 0 < x < π/4 e 7/4 π < x < 2π Ora studiamo i segni dei due fattori e prendiamo gli intervalli nei quali il prodotto è negativo o nullo La soluzione dell’esercizio è quindi: π/4 ≤ x < π/2 ∨ 2/3π ≤ x ≤ 3/4π ∨ 5/4π ≤ x < 3/2π ∨ 5/3 π ≤ x ≤ 7/4 π Prendiamo anche il segno di uguale quando l’espressione diventa uguale a zero. Il periodo delle soluzioni è 2π perché è quello della funzione con il periodo più ampio (cos x)