PROCESSI OSCILLATORI ( )

OscArmon-Risonanza - 1
PROCESSI OSCILLATORI
1) OSCILLAZIONI LIBERE (OSCILLATORE ARMONICO)
Siamo in presenza di un sistema la cui equazione che
&
&
esprime il 2° principio della dinamica F = ma è del tipo
(
)
&
N
& &
&
− kxi + mg + N = ma
− kxi
&
mg
(1)
x
Proiettando sull'asse x si ottiene:
− kx = mx
(2)
che è un'equazione che ammette soluzioni del tipo
x( t ) = A cos(ω 0 t + ϕ )
(3)
Derivando la (3) si ottiene:
x ( t ) = − Aω 0 sin(ω 0 t + ϕ )
(4)
x( t ) = − Aω 20 cos(ω 0 t + ϕ )
(5)
Imponiamo le condizioni iniziali: per t = 0 sia x(0) = x 0 e
x (0) = 0 . Dalla (4) segue:
x (0) = − Aω 0 sin(ϕ ) = 0 ⇔ ϕ = 0
(6)
mentre dalla (3), con la (6) si ha
x(0) = A cos(0) = x 0 ⇔ A = x 0
La soluzione è quindi:
(7)
OscArmon-Risonanza - 2
x( t ) = x 0 cos(ω 0 t )
(8)
( t ) = − ω 02 x 0 cos(ω 0 t )
x
(9)
Sostituendo la (8) e la (9) nella (2) si ottiene:
− k + ω 20m = 0
(10)
Dalla (10) si vede che il sistema ha una pulsazione propria,
k
. A questa pulsazione corrispondono la
m
ω 0 , data da ω 0 =
frequenza ν 0 =
ω0
1 k
1
m
e il periodo T =
=
= 2π
ν0
2 π 2π m
k
L'energia potenziale del sistema è data da
U=
1 2 1
kx = k x 0 cos(ωt )
2
2
[
]
2
≡
1 2
kx 0 cos2 (ωt )
2
(11)
mentre l'energia cinetica, utilizzando le (4), (6) e (7) è data da
T=
1
1
mx 2 = m − x 0ω 0 sin(ω 0 t )
2
2
[
]
2
=
1
mω 20 x 20 sin2 (ω 0 t )
2
(12)
Dalla (10) ricaviamo k = mω 20 , col che la (12) si può riscrivere:
T=
1 2
kx 0 sin2 (ω 0 t )
2
(13)
Utilizzando la (11) e la (13) si vede che la somma delle energie
cinetica e potenziale è
E = T+U =
1 2
1
1
kx 0 sin2 (ωt ) + kx 20 cos2 (ωt ) = kx 20
2
2
2
∀ t
(14)
OscArmon-Risonanza - 3
1
0
x
A
&
v
&
v
x
&
v
6
0
-A
x
A
&
v
0
4
0
x
A
x
A
&
v
3
0
x
A
0
-A
2
A
0
5
7
&
v
0
x
A
8
x
A
x
xo
t
1 2
3
4
5
6
7
8
E=T+U
U=
T =
t
1
2
1
2
2
kx cos ωt = U
0
2
2
 1 + cos 2ωt 
max 

2

 1 − cos 2ωt 

2
kx sin ωt = T
max 
2 0

OscArmon-Risonanza - 4
2)
OSCILLAZIONI SMORZATE
Se sul sistema agisce anche una forza resistente
che dipende
&
&
dalla velocità (resistenza di tipo viscoso) f = −bv , si ha
&
N
− kxi
&
f
&
& &
&
− kxi − bv + mg + R = ma
&
mg
x
la cui proiezione sull'asse x fornisce
= −kx − bx
mx
che
è
un'equazione
⇒
x + bx + kx = 0
m
differenziale
lineare
(16)
a
coefficienti
costanti. Cerchiamo soluzioni del tipo
x = e γt ⇒ x = γe γt ⇒ x = γ 2 e γt
Sostituendo nella (16) si ha:
(
)
e γt mγ 2 + bγ + k = 0
(17)
Essendo e γt > 0 ∀ t , deve quindi essere
mγ 2 + bγ + k = 0
(18)
ovvero γ deve essere soluzione della (18), e sarà quindi dato
da
γ 1,2
b
b2
k
±
=−
−
2m
4m 2 m
(19)
Si hanno tre diversi casi a seconda che sia il discriminante
(15)
OscArmon-Risonanza - 5
2
k >
 b 
∆=
0
 −
 2m 
m <
1. Se ∆ > 0 (grandi smorzamenti), γ 1 e γ 2 sono reali e
distinte, e negative. La soluzione dell'equazione del moto è
x(t) = A 1e
γ 1t
+ A2e
γ 2t
=e
−
b
t
2m
(A e
1
∆t
+ A2e
∆t
)
(20)
2. Se ∆ = 0 (smorzamento critico), γ 1 e γ 2 sono reali e
coincidenti, e si ha γ 1 = γ 2 = −
b
. La soluzione
2m
dell'equazione del moto è
x( t) = e
−
b
t
2m
(A 1 + A 2 t)
(21)
3. Se ∆ < 0 (piccoli smorzamenti), γ 1 e γ 2 sono immaginarie;
si ha
γ 1,2
b
± iω ' , con i =
=−
2m
− 1 e ω' =
k  b 
−

m  2m 
2
(22)
La soluzione dell'equazione del moto è:
x( t) = e
−
b
t
2m
(A e
1
iω ' t
+ A 2 e − iω 't
)
(23)
Sfruttando le formule di Eulero
eiθθ = cos θ + i sin θ ; e − iθ = cos θ − i sin θ
si ottiene
x( t ) = e
−
b
t
2m
[A 1(cos
ω ' t + i sin ω ' t) + A 2 (cos ω ' t + i sin ω ' t)] =
OscArmon-Risonanza - 6
=e
−
b
t
2m
[(A 1 + A 2 )cos ω 't + i(A 1 − A 2 )sin ω' t]
(24)
Poniamo ora A1 + A 2 = A cos ϕ e i(A1 − A 2 ) = A sin ϕ ; si ha
x(t) = Ae
−
b
t
2m
[cos
ω ' t cos ϕ + sin ω ' t sin ϕ ]
(25)
da cui
x(t) = Ae
−
b
t
2m
cos (ω ' t + ϕ)
(26)
Queste sono oscillazioni smorzate con pulsazione
2
ω' =
k  b 
k
−
= ω0
 <
m  2m 
m
(27)
OscArmon-Risonanza - 7
3) OSCILLAZIONI FORZATE
Se oltre alla forza elastica di richiamo ed alla resistenza di
tipo viscoso c'è anche un'altra forza di tipo alternativo
&
espressa da F = F cos(ωt )i , il 2° principio della dinamica si
scrive come
&
F
&
N
&
mg
− kxi
&
& &
&
− kxi − bv + mg + R + F cos(ωt )i = ma
&
f
x
che proiettata sull'asse x da
+ bx + kx = F cos(ωt )
mx
(29)
Questa è una equazione differenziale lineare del II ordine,
completa, a coefficienti costanti. L'integrale generale della
(29)
è
dato
dall'integrale
generale
della
equazione
differenziale omogenea associata alla (29), ovvero
+ bx + kx = 0
mx
(30)
più un integrale particolare della equazione completa (29).
L'integrale generale della (30) si risolve come descritto al
punto 2), e rappresenta il comportamento transitorio (o
transiente) del sistema dopo che viene perturbato. A tempi
lunghi questa comportamento smorzato scompare, e la
soluzione della (29) la cerchiamo nella forma
x( t ) = X m cos(ωt − ϕ )
(31)
x ( t ) = − ωX m sin(ωt − ϕ )
(32)
che ha derivate
(28)
OscArmon-Risonanza - 8
x( t ) = − ω 2 X m cos(ωt − ϕ )
(33)
Sostituendo le (31), (32) e (33) nella (29) si ottiene la seguente
equazione:
− mω 2 X m cos(ωt − ϕ ) − bωX m sin(ωt − ϕ ) + k = F cos(ωt)
Usando
le
formule
trigonometriche
di
sottrazione,
raccogliendo e quindi separando i termini in cos(ωt) e
sin(ωt) , dividendo tutti i termini per m e ricordando che
k m = ω 20 si ottiene il seguente sistema di equazioni
bω
F
 2
2
−
+
ω
ϕ
cos
X
X m sinϕ =
ω
m
 0
m
m

bω
 ω 20 − ω 2 X m sinϕ −
X m cos ϕ = 0

m
(
(
)
)
e le costanti X m e ϕ soddisfano quindi le relazioni
(
Fm ω 20 − ω 2
X m cos(− ϕ ) =
m
X m sin(− ϕ ) =
2
(
m
ω 20
2
−ω
)
2 2
)
2
+b ω
(34)
2
Fbω
(
ω 20
−ω
)
2 2
2
+b ω
2
(35)
dalle quali si ottiene
F
Xm =
m
tgϕ =
(
ω 20
2
(
bω
ω 20
)
−ω
− ω2 m
)
2 2
(36)
2
+b ω
2
(37)
OscArmon-Risonanza - 9
Dalle (36) e (37) si ha che:
1. lo spostamento della massa m è sfasato di un angolo ϕ
rispetto alla forza (); l'angolo di sfasamento è sempre
positivo, e varia tra 0 e π ;
2. l'ampiezza di oscillazione X m dipende da ω ;
3. il massimo valore di X m si ha per ω = ω 0 1 − (b 2mω ) ≅ ω 0
2
(frequenza di risonanza); in corrispondenza a tale valore di
frequenza lo sfasamento vale ϕ = π 2 .

Download Report