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Fascio di parabole tangenti
Problema
Considerato il fascio di parabole di equazione F : kx 2  2  k  1 x  y  k  1  0 risolvere i quesiti che
seguono.
1) Determinare le equazioni delle curve generatrici del fascio.
2) Classificare il fascio precisando quali siano le sue curve degeneri e se ammette punti base.
3) Determinare le parabole del fascio che staccano sulla bisettrice s del secondo e quarto quadrante
una corda di lunghezza
16
2.
5
4) Riconosciuto che esistono due parabole del fascio che verificano la proprietà indicata nel
precedente punto, determinare l’area di ciascuno dei segmenti parabolici individuati dalle suddette
parabole con la bisettrice s.
5) Realizzare una figura contenente gli elementi geometrici elaborati.
Elaborazioni
1) Scritta l’equazione del fascio nella forma F : k  x  1  2 x  y  1  0 , si riconosce che le curve
2
generatrici sono
a.
g1 :  x  1  0 , che è la retta doppia di equazione x  1  0 ;
b.
g2 : 2 x  y  1  0
2
Entrambe le curve generatrici sono parabole degeneri.
2) Mettendo a sistema le equazioni delle curve generatrici si ottiene il sistema
 x  12  0
, soddisfatto da

2 x  y  1  0
 x  1
, che è soluzione doppia.

 y  1
Il punto T(-1;-1) è l’unico punto base del fascio e poiché va contato due volte si deduce che tutte le
parabole del fascio saranno tangenti tra loro in detto punto.
Osservazione
La retta g2 : 2 x  y  1  0 rappresenta la tangente comune a tutte le parabole del fascio in T.
Curve degeneri del fascio
Abbiamo già precisato che le curve g1, g2 sono curve degeneri per il fascio; possiamo aggiungere che
la retta doppia g1 rappresenta anche la curva limite del fascio e la sua equazione non può essere
ottenuta per alcun valore reale del parametro. Il fascio non ammette altre curve degeneri.
3) Strategia risolutiva
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Pagina 1
La bisettrice del 2° e 4° quadrante è s:y=-x. Per rispondere al quesito occorre mettere a sistema
l’equazione del fascio con quella della retta s, studiare il sistema di equazioni e precisare sotto quali
condizioni per il parametro k esistono soluzioni. Si dovrà richiedere che il sistema ammetta due
soluzioni distinte, che saranno le coordinate dei punti comuni P1, P2 comuni alle due curve ed
imporre che la misura del segmento P1P2 sia quella indicata; la condizione algebrica ottenuta
permetterà di determinare i corrispondenti valori del parametro k.

 y  x
 2

kx  2  k  1 x  y  k  1  0
Il sistema ammette come equazione risolvente
kx 2   2k  3 x  k  1  0
(3.1)
Che ammette soluzioni reali se e solo se il suo discriminante è non negativo:
9
2
   2k  3  4k  k  1  0 , da cui 9  8k  0 , quindi k  ; in particolare, volendo ottenere
8
9
soluzioni reali e distinte dovrà risultare k  . L’equazione (3.1) ammette come radici
8
x
3  2k  9  8k
e i due punti comuni tra la retta e la generica curva del fascio sono
2k
 3  2k  9  8k 3  2k  9  8k
P1 
;
2k
2k


 ,

 3  2k  9  8k 3  2k  9  8k
P2 
;
2k
2k


 .

Misura del segmento P1P2
 3  2k  9  8k 3  2k  9  8k
2 

PP
1 2 
2k
2k

2

  2 

9  8k
k
Condizione per la lunghezza del segmento P1P2
PP
1 2 
5
16
2 , che diventa
5
9  8k

2
2
9  8k 16

2 , quindi
k
5
 16k   162 k 2  200k  225  0
2
Le radici dell’equazione sono k1  
45
5
, k2  . Esistono dunque due parabole del fascio che
32
8
verificano la proprietà richiesta e sono:
k1  
45
45
45 2 77
77
2
 77 77 
 1 : y  2 x  1   x  1  1 : y 
x  x
; vertice V1   ; 
;
32
32
32
16
32
 45 45 
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k2 
5
5
5
3
3
2
3 3
 2 : y  2 x  1   x  1  2 : y   x 2  x  ; vertice V2  ;  .
8
8
8
4
8
5 5
Punti comuni delle parabole con la bisettrice s (omettiamo i calcoli)
  7 7   11 11  
1  s   P1   ;  , P2   ;   ;
  15 15   3 3  
  1 1

2  s   P1 '   ;  , P2 '  3; 3 
  5 5

4) Aree dei segmenti parabolici
Per il calcolo dell’area di ciascun segmento parabolico si deve determinare la retta tangente alla
parabola corrispondente che risulta parallela alla bisettrice s, nonché la distanza tra detta tangente
e la stessa bisettrice; la distanza rappresenta l’altezza del relativo segmento parabolico. Riportiamo
solo le elaborazioni relative alla parabola 2.
Ricerca della retta tangente
5 2 3
3


8
2 : y   x  x 
2
8
4
8  5x  14 x  8q  3  0   49  5 8q  3  0  q 

4
5

 y  x  q
La retta tangente cercata è: t2 : y   x 
8
.
5
Altezza del segmento parabolico
1 1 8
  
8
5 5 5
d  P '1; t2  

2
5 2
Area del segmento parabolico formato
da s e da 2
2
 P '1 P '2  d  P '1; t2  
3
2 16
8
256

2

3 5
5 2 45
Area2 
5) La figura è a margine.
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