Equazioni 2° grado

IPOTESI DI UNITA' DIDATTICA
Biennio Scuola Media Superiore
Le Equazioni di 2° Grado
OBIETTIVI
• Riconoscere un'equazione di 2° grado
• saper risolvere un'equazione di 2° grado
• saper interpretare l'equazione di 2° grado dal punto di vista grafico in modi diversi
• saper risolvere le equazioni incomplete anche come casi particolari di quelle complete
• saper utilizzare i menu GRAPH – TAB; DYNA; EQUA; CONICS; ALGEBRA; TUTOR anche in forma critica
PREREQUISITI
Cognitivi:
• concetto di equazione
• concetto di grado di un'equazione
• principi invariantivi per le equazioni
• concetto di soluzione di una equazione
• rappresentazione grafica di rette e parabole
Strumentali:
• Conoscenza del Menu della calcolatrice
• saper passare da una funzione ad un'altra
• conoscere le funzioni di base dei programmi GRAPH-TAB; DYNA; EQUA; CONICS
SEQUENZIALITA'
• Risoluzione di una equazione di 2° grado completa con il metodo della riduzione al quadrato
• Risoluzione di una equazione di 2° grado completa mediante l'applicazione della formula risolutiva
• Risoluzione di una equazione di 2° grado incompleta come caso particolare di quella completa
• Metodi risolutivi di un'equazione di secondo grado incompleta derivati dalle osservazioni svolte nella
trattazione precedente
• Le soluzioni di un'equazione di 2° grado completa come intersezioni di una parabola y = ax2 + bx + c con
l'asse x
• Le soluzioni di un'equazione di 2° grado come intersezioni di una parabola y = ax2 con una retta y = -bx – c
• Le soluzioni di un'equazione di 2° grado come intersezioni di una parabola y = ax2 + bx con una retta y = -c
ASPETTO INFORMATICO
SCHEDA STUDENTE
Ricordiamo che una equazione è una formula aperta, definita in un insieme e il cui predicato è “essere uguale”.
L'insieme delle soluzioni di una equazione è l'insieme dei valori che, sostituiti alla incognita, la trasformano in
proposizione vera.
Le equazioni di secondo grado descrivono e risolvono problemi del tipo:
• L'area di un rettangolo è 12. La sua larghezza è i ¾ della lunghezza. Quali sono le sue dimensioni (problema
descritto in un papiro egizio del 1850 a.C.)
• Qual è la relazione tra lo spazio e il tempo in moto uniformemente accelerato ?
Possiamo ora porci il problema di come risolvere queste equazioni che presentano l'incognita con un gradi
massimo pari a 2.
•
1° metodo: Completamento del quadrato
Accendere la calcolatrice ed entrare nel MENU ALGEBRA.
[MENU] [ALPHA + log] (ALGEBRA) [EXE]
Dobbiamo risolvere l'equazione, già ridotta a forma normale,
x2 – 14x + 45 = 0
Un metodo consiste nel ridurre il trinomio di secondo grado nello
sviluppo del quadrato di un binomio sommato ad un termine noto
In questo caso x2 è il quadrato di x, mentre 14x può essere visto
come il doppio prodotto di 7 per x.
Quindi l'equazione si può scrivere come
La calcolatrice sa eseguire questa
trasformazione
[F1] (TRNS) [7] (collect) [F4],X-7)
Come si ricava il risultato proposto dalla calcolatrice ?
Possiamo risolvere portando al secondo membro il termine noto e [F1[ [1] (smplfy) [F4] (eqn) [2] + 4
calcolando le due radici
Calcolo delle radici
[F1] [1] (smplfy) √[F4] (eqn) [3]
Che significato ha il valore assoluto che compare ?
Risoluzione
[F1] [5] (solve) [F4] (eqn) [4]
Come si ottengono i due valori ?
Svolgi in un caso diverso, ripetendo le procedure e le
considerazioni prima svolte
x2 – 3x + 8 = 0
Scrivi le modalità operative
Riporta i comandi per la calcolatrice
Risolvi col metodo del completamento del quadrato la seguente
equazione, descrivendo le fasi operative
3x2 – 7x + 2 = 0
Scrivi le modalità operative
Riporta i comandi per la calcolatrice
Generalizzazione alla ricerca di una formula risolutiva
L'equazione in forma normale di secondo grado è:
ax2 + bx + c = 0
Questa formula viene ottenuta procedendo con il metodo
precedente del completamento del quadrato.
Scriviamo l'equazione
Moltiplichiamo l'equazione per 4A, applicando il secondo criterio
di equivalenza ed eseguiamo i calcoli
[F1] [2] (expand) [F4] x 4A
L'equazione diventa
Completiamo il quadrato
[F1] [7] [F4] [3] , 2AX + B)
Spostiamo il termine noto al secondo membro applicando il primo
criterio di equivalenza
[F1] [1] [F4] – 4AC + B
Estraiamo la radice quadrata
[F1] [1] (√[F4] [6]
Ricava la formula nota
[F1] [5] (solve)
Discussione del significato di Discriminante
Analizziamo l'espressione sotto radice
 B2−4AC
La radice quadrata di un numero esiste, nell'insieme dei numeri
reali solo se
Analizza il comportamento di questo radicale attraverso lo studio
del segno del suo radicando
B2 - 4AC > 0
B2 – 4AC = 0
B2 – 4AC < 0
Equazioni di 2° grado e loro rappresentazione grafica
[MENU] [4] (DYNA)
Vediamo il significato e il ruolo giocato da ogni singolo parametro
Verifichiamo il ruolo del parametro A
[F4] (VAR) Cursore su A [F1] (Sel) [F2]
(RANG) scegliere intervallo di variazione
Avviare l'animazione
[ESC] [F6] (DYNA)
Cosa osservi, descrivi i vari casi
Verifichiamo ora il ruolo del parametro B
[F4] (VAR) Cursore su B [F1] (Sel)
Avviare l'animazione
[ESC] [F6]
Cosa osservi, descrivi i vari casi
Verifichiamo infine il ruolo del parametro C
Ripeti la procedura precedente. Cosa osservi ?
Ora che ci siamo ricordati che una funzione di secondo
grado può essere rappresentata da un parabola, vediamo
graficamente il significato di soluzione dal punto di vista grafico
senza calcoli algebrici.
L'equazione ax2 + bx + c = 0 può essere considerata come la
soluzione di un sistema che individua le intersezioni di una
parabola con l'asse delle X

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