Hoofdstuk 1 Meetkunde en Lineaire Algebra

Hoofdstuk 1
Meetkunde en Lineaire
Algebra
Vraag 1.1 De verzameling van de spoorvrije symmetrische matrices in Rn×n (n > 1) vormt een vectorruimte van dimensie
(n+2)(n−1)
over R.
2
waar
Vraag 1.2 Zij A, B, C ∈ Fn×n , dan geldt er tr(ABC) = tr(BCA) =
tr(CAB).
waar
Vraag 1.3 Zij A, B matrices in C2×2 waarvoor geldt dat det(A+
iB) = det(A) − det(B), dan zal er eveneens gelden dat
det(3A + 5iB) = 9 det(A) − 25 det(B)
waar
Vraag 1.4 Zij A en B antisymmetrische matrices in R9×9 , dan
geldt er dat det(A + B) = det(A) + det(B).
1
waar
Vraag 1.5 Zij x, y ∈ R1×n met x ⊥ y (n > 1), dan is det(xT y) =
0.
waar
Vraag 1.6 Er bestaan antisymmetrische matrices A in Rn×n
(n > 1) waarvoor de afbeelding
T : Rn×n → Rn×n : X 7→ AX + XA
injectief is.
vals
Vraag 1.7 Er bestaat een homomorfisme T : R3×3 → R4 [x]
waarvan de kern bestaat uit alle antisymmetrische matrices in
R3×3 .
vals
Vraag 1.8 Zij α ∈ R gegeven. Dan zal de kromme met parametervoorstelling (cos(t) cos(αt), cos(t) sin(αt), sin(t)), t ∈ R
gesloten zijn als en slechts dan als α ∈ Q.
waar
Vraag 1.9 Als een kromme wordt bekomen als baan van een
punt op een cirkel met straal r, die rolt zonder glijden aan de
binnenkant van een grotere cirkel met straal R (r, R ∈ N),
dan zal de kromme zich voor de eerste keer sluiten als het punt
kgv(R,r)
keer rond het middelpunt van de kleine cirkel heeft
r
gedraaid.
2
waar
Vraag 1.10 Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking 3x2 −
2y 2 − 2z 2 = 1 kan worden voorgesteld door de parametervoorstelling
P (u, v) = (
cosh(u) sinh(u) cos(v) sinh(u) sin(v)
√ ,
√
√
,
),
3
2
2
met (u, v) ∈ [0, +∞[×[0, 2π].
vals
3
Hoofdstuk 2
Wiskundige Analyse II
Vraag 2.1 Voor alle punten (x, y) in het vlak waarvoor xy > 1
geldt
x+y
= arctan(x) + arctan(y) − π
arctan
1 − xy
vals
2
2
2
Vraag 2.2 De oppervlakken xy =
√ y +z −x = 1 snijden
√ 2 en
elkaar orthogonaal in het punt ( 2, 2, 1).
waar
Vraag 2.3 Een temperatuursdistributie in het vlak wordt gegeven
door
f (x, y) = 10 + 6 cos(x) cos(y) + 3 cos(2x) + 4 cos(3y)
Dan wordt de eenheidsvector volgens de welke de temperatuur
het snelst afneemt vanuit het punt ( π3 , π3 ) gegeven door (− √310 , − √110 ).
vals
4
Vraag 2.4 Beschouw de re¨eelwaardige functie f van e´e´n re¨ele
variabele, die overal afleidbaar wordt ondersteld. Definieer
F (x1 , . . . , xn ) = f (x21 + x22 + . . . + x2n )
Dan geldt er dat
∂F
(1, . . . , 1) = 2f 0 (n)
∂xi
waar
Vraag 2.5 Beschouw de re¨eelwaardige functie f van e´e´n re¨ele
variabele, die overal afleidbaar wordt ondersteld. Definieer
F (x1 , . . . , xn ) = f (x1 .x2 . . . . .xn )
Dan geldt er dat
~
(~x · ∇)(F
)(1, . . . , 1) = f 0 (1)
vals
Vraag 2.6 Zij f : Rn → R homogeen van graad k in Ω en
bovendien behorend tot C m (Ω). Dan geldt er in Ω dat
~ mf = kmf
(~x · ∇)
waar
Vraag 2.7 Zij f een tweemaal continu differentieerbare, homogene functie van graad 4 in de variabelen (x, y), dan geldt er
dat
∆((x2 + y 2 )f ) = (x2 + y 2 )∆f + 20f
5
waar
Vraag 2.8 De Laplaciaan in R2 is rotatie-invariant.
waar
Vraag 2.9 De transformatieformules
x = r cos θ
y = r sin θ sin φ
z = r sin θ cos φ
zijn inverteerbaar in elk open deelgebied van
{(r, φ, θ) : r ≥ 0, 0 < φ < 2π, 0 < θ < π}
waar
Vraag 2.10 De parabolische co¨ordinatentransformatie {x =
2uv, y = u2 − v 2 } vormt een bijectie tussen {(u, v)|v > 0}
en R2 \ {(0, 0)}.
vals
6

Download Report