faculteit Technische Natuurkunde - Technische Universiteit Eindhoven

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Technische Natuurkunde
Tentamen Optica 3BOX1
Donderdag 30 januari 2014 van 9.00 tot 12.00 uur
Dit tentamen bestaat uit 4 vraagstukken met in totaal 10 deelopgaven en 1 pagina met
goniometrische formules en de Fresnelvergelijkingen. Bij dit tentamen is het gebruik
van een ‘gewone’ rekenmachine toegestaan, maar mag geen grafische calculator of
notebook gebruikt worden. U mag gebruik maken een handgeschreven formuleblad
van A5 formaat. De uitslag wordt op OASE bekend gemaakt.
Opgave 1: Onder water kijken
Een object ligt op de bodem van een bak met vloeistof met brekingsindex n > 1 en
diepte d . Voor een waarnemer die van boven op het vloeistofoppervlak kijkt, lijkt het
object op een diepte d ' te liggen (zie bovenstaande figuur). De lucht boven de
vloeistof heeft een brekingsindex nlucht = 1 .
a. Leid af dat in de paraxiale benadering de verhouding tussen de werkelijke diepte
en de schijnbare diepte gegeven wordt door=
d '/ d n=
1/ n .
lucht / n
b. De bak wordt nu gevuld met een laag water met een dikte d1 en brekingsindex
n1 = 4 / 3 met daarop drijvend een laag benzeen met een dikte d 2 en brekingsindex
n2 = 3 / 2 . Maak een schets van de stralengang. Leid af dat in de paraxiale
benadering de schijnbare diepte van het object nu gegeven wordt door
=
d ' d 2 / n2 + d1 / n1 .
Opgave 2: Polarisatie.
Een ongepolariseerde lichtbundel met irradiantie I 0 plant zich voort in de z-richting.
De lichtbundel gaat eerst door een polarisator waarvan de doorlaatrichting in de xrichting staat en daarna door een polarisator waarvan de doorlaatrichting een hoek α
maakt met de x-as.
 cos 2 α
sin α cos α 
a. Laat zien dat de Jones matrix 
 het effect beschrijft van
2
sin
α
cos
α
sin
α


de tweede polarisator op de richting en de amplitude van het veld, door hem te
1
0
laten werken op de Jones vectoren   en   . Licht uw antwoord toe aan de
0
1
hand van een schets.
Er wordt nu een kwart-lambda plaatje tussen de twee polarisatoren geplaatst waarvan
de snelle as een hoek van 45 maakt met de x-as. Het effect van dit kwart-lambda
1 1 −i 

plaatje wordt beschreven door de Jones matrix 
 . Er is gegeven dat α = 60 .
2 i 1 
b. Hoe groot is de irradiantie na de eerste polarisator? Bereken de Jones vector en de
irradiantie na de tweede polarisator. Bepaal of de polarisatie na de tweede
polarisator lineair, circulair of elliptisch is en, indien van toepassing, linksom- of
rechtsomdraaiend.
c. Nu wordt een tweede kwart-lambda plaatje tussen de twee polarisatoren geplaatst.
Beredeneer in welke richtingen de snelle assen van de twee kwart-lamba plaatjes
moeten staan voor maximale transmissie van het hele systeem. Hoe groot is de
irradiantie na de tweede polarisator bij maximale transmissie?
Opgave 3: Dikke lens
We beschouwen een dikke lens van glas met brekingsindex nglas = 3 / 2 ,
gekarakteriseerd door een concaaf lucht-glas grensvlak met kromtestraal 2R op z = 0
en een convex glas-lucht grensvlak met kromtestraal R op z = R (zie bovenstaande
figuur). De brekingsindex van de omringende lucht nlucht = 1 .
a.
Bereken de z-posities van de 2 brandpunten van het lucht-glas grensvlak en van
de 2 brandpunten van het glas-lucht grensvlak.
b.
Een voorwerp V bevindt zich op positie z = −4 R . Bepaal door middel van een
grafische stralenconstructie het beeld V ' dat door breking aan het lucht-glas
grensvlak tot stand komt. Bepaal door middel van een tweede grafische
stralenconstructie in een aparte tekening het uiteindelijke beeld V '' dat door
breking aan het glas-lucht grensvlak tot stand komt. Geef aan welke
karakteristieke stralen u gebruikt in beide stralenconstructies.
c.
Bereken de z-positie, de vergrotingsfactor en het teken van de vergroting zowel
van het beeld V ' als van het beeld V '' .
Opgave 4: Michelson interferometer
Een vlakke golf met golflengte λ en amplitude E0 , zich voortplantend in vacuüm in
de x-richting, wordt in een Michelson interferometer d.m.v. een halfdoorlatende
spiegel M1/2 , die onder een hoek van 45° staat, in tweeën gesplitst (zie bovenstaande
figuur). De twee bundels worden door de (volledig reflecterende) spiegels M1 en M2
weer bij elkaar gebracht en interfereren op een scherm S. De interfererende bundels
hebben dezelfde amplitude. De spiegels M1 en M2 staan op een afstand L1 , resp.
L=
L1 + d , van M1/2. In een van de armen van de interferometer bevindt zich een
2
glazen vacuümkamer met een inwendige afmeting d vac , die met gas gevuld kan
worden. De optische weglengte door de glazen wanden van de vacuümkamer is gelijk
aan de optische weglengte door het glazen substraat van spiegel M1/2.
a.
b.
Geef een uitdrukking voor het faseverschil tussen de twee lichtbundels die
interfereren op scherm S als de vacuümkamer gevuld is met een gas met
brekingsindex n. Geef duidelijke aan hoe u aan deze uitdrukking bent gekomen
met een toelichting bij ieder van de termen. Leid hieruit af dat de irradiantie op
1
 2π d 2π (n − 1)d vac π 
scherm S gegeven wordt door
=
+
+ .
ε 0 cE0 2 cos 2 
I
λ
2
2
 λ
Als de afstanden van de spiegels M1 en M2 tot M1/2 gelijk zijn aan elkaar en de
vacuümkamer leeg is, is de irradiantie op S dan maximaal of minimaal, of daar
tussen in? Gegeven is dat λ = 1 µ m en d vac = 2 cm . De vacuümkamer wordt
gevuld met een gas. Tijdens het vullen verandert de intensiteit op scherm S 4 keer
van licht naar donker en van donker naar licht. Bereken de brekingsindex van het
gas als de einddruk in de vacuümkamer is bereikt.
Fresnel-vergelijkingen:
De vergelijkingen van Fresnel voor licht inkomend met hoek
brekingsindex n1 , uitgaand met hoek
θi in medium met
θt in medium met brekingsindex n2 :
2
2
cosθi − n cosθt cosθi − n − sin θi
r⊥ =
≡
cosθi + n cosθt cosθi + n 2 − sin 2 θi
met n ≡
n2
n1
2
2
2
n cosθi − cosθt n cosθi − n − sin θi
r/ / =
≡
n cosθi + cosθt n 2 cosθi + n 2 − sin 2 θi
t⊥ =
2cosθi
2cosθi
≡
cosθi + n cos θt cosθi + n 2 − sin 2 θi
t/ / =
2 cosθi
2n cosθi
≡
ncosθi + cos θt n 2 cosθi + n 2 − sin 2 θi
Goniometrische formules:
sin 2 α + cos 2 α =
1
sin
45 cos
45
=
=
1
2
2; sin
30 cos
60
=
=
sin α + sin =
β 2sin 12 (α + β ) cos 12 (α − β )
sin α − sin=
β 2 cos 12 (α + β ) sin 12 (α − β )
cos α + cos =
β 2 cos 12 (α + β ) cos 12 (α − β )
cos α − cos β =
−2sin 12 (α + β ) sin 12 (α − β )
sin(
α + β ) sin α cos β + cos α sin β
=
sin(α=
− β ) sin α cos β − cos α sin β
cos(α
=
+ β ) cos α cos β − sin α sin β
cos(α
=
− β ) cos α cos β + sin α sin β
tan α + tan β
tan(α + β ) =
1 − tan α tan β
cosinusregel: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
a
b
c
sinusregel: = =
sin α sin β sin γ
1
2
; sin
60 cos
30
=
=
1
2
3

Download Report