Oplossingen Hoofdstuk 2

Afgeleiden in meerdere variabelen
1. (a) f (x, y ) =
(b) f (x, y ) =
√
√
y + y −x
√1
xy
1
(c) f (x, y ) = √
+ x+y1−2
1−(x−1)2 −(y −1)2
√
(d) f (x, y ) = 1 − x − y
√
(e) f (x, y ) = ln(1 − x 2 − y 2 ) + 1 − x − y
q
2
(f) f (x, y ) = ln(x 3 − y ) + x4 + y − 1
p
(g) f (x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 ) + |x| + |y | − 1
√
√
(h) f (x, y ) = y − ln x + e x − y
q
(i) f (x, y ) = ln(1 − |x|) + | sin(πx)| − |y + 12 | + ln(x(y + 12 ))
2. (a) a
(e) d
(i) l
(b) k
(f) e
(j) j
(c) h
(g) c
(k) b
(d) i
(h) g
(l) f
(f) 1/4
(k) bestaat niet (padentest)
3. (a) 0
(b) −1
(g) bestaat niet (padentest)
(c) 1/2
(h) bestaat niet (padentest)
(d) 2
(i) bestaat niet (padentest)
(e) 4
(j) bestaat niet (padentest) (n) bestaat niet (padentest)
4. (a) kies δ ≤
√
1
(l) bestaat niet (padentest)
(m) bestaat niet (padentest)
(b) kies δ ≤ (c) kies δ ≤ /2
(d) kies δ ≤ /2
5. (a) fx (x, y ) = 4x en fy (x, y ) = −3
(b) fx (x, y ) = 2xy + 4x en fy (x, y ) = x 2 − 1
(c) fx (x, y ) = 5y − 14x + 3 en fy (x, y ) = 5x − 2y − 6
(d) fx (x, y ) = 2y (xy − 1) en fy (x, y ) = 2x(xy − 1)
(e) fx (x, y ) = 4(2x − 3y ) en fy (x, y ) = −6(2x − 3y )
(f) fx (x, y ) = √
x
x 2 +y 2
en fy (x, y ) = √
y
x 2 +y 2
(g) fx (x, y ) = 2x 2 (x 3 + y /2)−1/3 en fy (x, y ) = 13 (x 3 + y /2)−1/3
(h) fx (x, y ) = −(x + y )−2 en fy (x, y ) = −(x + y )−2
(i) fx (x, y ) =
−x 2 +y 2
(x 2 +y 2 )2
(j) fx (x, y ) =
−y 2 −1
(xy −1)2
(k) fx (x, y ) =
(l) fx (x, y ) =
en fy (x, y ) =
en fy (x, y ) =
−2xy
(x 2 +y 2 )2
−x 2 −1
(xy −1)2
−y
x
x 2 +y 2 en fy (x, y ) = x 2 +y 2
e x+y +1 en fy (x, y ) = e x+y +1
(m) fx (x, y ) = e −x (cos(x + y ) − sin(x + y )) en fy (x, y ) = e −x cos(x + y )
(n) fx (x, y ) =
(o) fx (x, y ) =
1
1
x+y en fy (x, y ) = x+y
y e xy ln y en fy (x, y ) =
e xy (x ln y + 1/y )
(p) fx (x, y ) = 2 sin(x − 3y ) cos(x − 3y ) en fy (x, y ) = −6 sin(x − 3y ) cos(x − 3y )
(q) fx (x, y ) = −6 cos(3x − y 2 ) sin(3x − y 2 ) en fy (x, y ) = 4y cos(3x − y 2 ) sin(3x − y 2 )
(r) fx (x, y ) = x y ln x en fy (x, y ) = y x y −1
(s) fx (x, y ) =
1
x ln y
en fy (x, y ) =
− ln x
y ln2 y
6. (a) fx = y 2 en fy = 2xy en fz = −4z
(b) fx = y + z en fy = x + z en fz = x + y
(c) fx = 1 en fy = √ −y
2
y +z 2
en fz = √ −z
2
y +z 2
(d) fx = −x(x 2 + y 2 + z 2 )−3/2 en fy = −y (x 2 + y 2 + z 2 )−3/2 en fz = −z(x 2 + y 2 + z 2 )−3/2
2
(e) fx = √
yz
1−(xy z)2
(f) fx = √
−1
1−(x+y z)2
(g) fx =
(h) fx =
1
x+2y +3z
yz
x en fy
(i) fx = −2xe
en fy = √
xz
1−(xy z)2
en fy = √
en fy =
en fz = √
−z
1−(x+y z)2
2
x+2y +3z
xy
1−(xy z)2
en fz = √
en fz =
−y
1−(x+y z)2
3
x+2y +3z
= z + z ln(xy ) en fz = y ln(xy )
−(x 2 +y 2 +z 2 )
en fy = −2y e −(x
2 +y 2 +z 2 )
en fz = −2ze −(x
2 +y 2 +z 2 )
(j) fx = −y ze −xy z en fy = −xze −xy z en fz = −xy e −xy z
7. (a) wxy =
−6
(2x+3y )2
(c) wxy =
(b) wxy = 2y + 6xy 2 + 12x 2 y 3
8. (a) fxy = cos y
(b) fxy = 0
1
y
+
1
x
(d) wxy = cos y + cos x + 1
(c) fxy = − y12
(e) fxy = 5
(d) fxy = 2x
(f) fxy =
9. (a) 0
(c) 0
(b) 0
(d) 0
10. (a) 0
(d)
1
y
16
1+16t
(b) 0
(e) 4tBgtant + 1
(c) 1
(f) cos(t ln t)(−1 − ln t) + e t−1
(c) −4/5
11. (a) 4/3
(d) −2 − ln 2
(b) 2
12.
13.
14. (a) (−1, 1)
(b) (1, 1)
15. (a) −4
(b) −4
(c) 31/13
√
(c) ( 2, −1)
(d) (3, 2, −4)
(e) (−11/2, −6, 1/2)
√
√
(f) ( 3/2+1, 3/2, −1/2)
−3
(d) 2√
13
(e) 3
(g) 2
(f) 0
(h) 2
3
16. De richting waarin de functie het snelst stijgt is steeds de richting van de gradi¨entvector,
met als afgeleide de norm van deze vector. Analoog wordt de richting waarin de functie
het snelst daalt gegeven door de tegengestelde van de gradi¨entvector, met als afgeleide
het tegengestelde van de norm van de gradi¨entvector. We geven ter controle telkens de
norm van de gradi¨ent:
√
√
√
(a) 2
(c) 3 3
(e) 2 3
(b) 2
(d) 3
(f) 7
17. (a) x + y + z = 3
(e) 2x + 2y + z = 4
(b) 3x + 5y + 4z = 18
(f) x + y + z = 1
(c) −2x + z = −2
(d) 2y + 3z = 7
(g) 9x − 7y − z = 21
18. (a) x + xy + 12 xy 2
(b) xy
(c)
(d)
19. (a) lokaal minimum in (−3, 3)
(b) lokaal maximum in (2/3, 4/3)
(c) zadelpunt in (−2, 1)
(d) zadelpunt in (6/5, 69/25)
(e) zadelpunt in (2, 1)
(f) lokaal minimum in (2, −1)
(g) zadelpunt in (1, 2)
(h) zadelpunt in (0, 0)
(i) zadelpunt in (0, 0) en lokaal maximum in (−2/3, 2/3)
(j) lokaal minimum in (0, 0) en zadelpunt in (1, −1)
(k) zadelpunt in (0, 0) en lokaal minimum in (4/9, 4/3)
(l) zadelpunten in (0, 0) en (−2, 2), lokaal maximum in (−2, 0), lokaal minimum in (0, 2)
(m) zadelpunt in (0, 0), lokale maxima in (1, 1) en (−1, −1)
4
(n) lokaal maximum in (0, 0)
(o) lokaal minimum in (1, 1)
(p) geen zadelpunten, geen extrema
√
√
√
√
20. (a) maxima in ( 2/2, 1/2) en (− 2/2, −1/2), minima in (− 2/2, 1/2) en ( 2/2, −1/2)
√ √
√
√
√ √
√
√
(b) maxima in ( 5, 5) en (− 5, − 5), minima in (− 5, 5) en ( 5, − 5)
(c) maximum in (1, 3)
21.
22.
23.
24.
(d) lokaal minimum in (0, 3) en lokaal maximum in (2, 1)
p
p
p
p
p
p
(e) maxima
in
(
10/3,
20/3)
en
(
10/3,
−
20/3),
minima
in
(−
10/3,
20/3)
p
p
en (− 10/3, − 20/3)
√
√
√
√
(f) maximum in (6/ 10, −2/ 10) en minimum in (−6/ 10, 2/ 10)
√
√
(3, 3 2) en (3, −3 2)
√
√
√
√
(1/ 3, 1/ 3) en (−1/ 3, −1/ 3) liggen het dichtst bij de oorsprong, (1, −1) en (−1, 1)
liggen het verst van de oorsprong
√
√
r = a/ 2 en h = a 2, de maximale oppervlakte is 2πa2
√
√
de afmetingen van de rechthoek zijn 4 2 en 3 2
25. de afmetingen van de rechthoek zijn
2
√ a
a2 +b2
en
2
√ b
a2 +b2
26. de minimale temperatuur is 0◦ , de maximale temperatuur is 125◦
27. (a) minimum in (81/59, 123/59, 9/59)
(b) extremum in (2/3, 4/3, −4/3)
√ √
√ √
√
√
√
√
(c) maxima in ( 6, 3, 1) en (− 6, 3, 1), minima in ( 6, − 3, 1) en (− 6, − 3, 1)
28. (2, 4, 4)
29. (0, 1/2, 1)
5

Download Report