Huygens en de brachistochroon van Bernoulli

Huygens en de brachistochroon
van Bernoulli
Henk Broer
Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica
Rijksuniversiteit Groningen
H&B – p.1/27
Summary
i. Christiaan Huygens’ isochrone kromme
ii. Evoluut en evolvent
iii. Johann Bernoulli’s verrassing
iv. Literatuur
http://www.math.rug.nl/˜henkbroer/
H&B – p.2/27
Huygens en Bernoulli
Christiaan Huygens
1629–1695
Johann Bernoulli
1667–1748
H&B – p.3/27
Huygens’ isochrone krommee
Hooke en Newton ⇒
bewegingsvergelijking veer
′′
Notatie:
mx = −kx
2
d
x(t)
dx(t)
′′
′
, x (t) =
x (t) =
dt
dt2
p
Kort af ω = k/m, verkrijg oplossing
x(t) = R cos(ωt + φ)
Periode P = 2π/ω onafhankelijk van de amplitude R:
isochronie
H&B – p.4/27
Veer
De veer gemodelleerd als harmonische oscillator
H&B – p.5/27
Commentaar
1. Potentiële energie V (x) = 12 ω 2 x2 :
dV
x = −ω x = − (x)
dx
′′
2
harmonische oscillator
p
2. Slinger x′′ = −ω 2 sin x, ω = g/ℓ
an-isochroon: periode −→ ∞ als x → π
3. Gestalt-switch: kraal beweegt lang draadprofiel
in verticaal vlak (gravitatie, geen wrijving)
slinger ←→ cirkel
Welk profiel geeft harmonische oscillaties (en dus
isochronie)?
H&B – p.6/27
Parametrisering cycloïde
Rol wiel ( straal ̺) langs plafond −→
ξ(ϕ) = ̺(ϕ + sin ϕ), η(ϕ) = ̺(1 − cos ϕ)
parameter ϕ heet rolhoek
H&B – p.7/27
Booglengte cycloïde
booglengte x = x(ϕ) (met Pythagoras):
p
dξ 2 + dη 2 =
dx =
p
=
(dξ/dϕ)2 + (dη/dϕ)2 dϕ =
√ p
ϕ
= ̺ 2 1 + cos ϕ dϕ = 2̺ cos dϕ
2
x(ϕ) = 4̺ sin ϕ2
H&B – p.8/27
Cycloïdaal draadprofiel
Verticale hoogte
1
ϕ
= (x(ϕ))2
η(ϕ) = 2̺ sin
2
8̺
2
potentiële energie “V = mgη” : V (x) =
mg 2
8̺ x
−→ bewegingsvergelijking kraal
g
x =− x:
4̺
′′
een harmonische oscillator met ω =
p
g/(4̺)
Conclusie: de cycloïde is de isochrone kromme
(ook tautochronoon . . .)
H&B – p.9/27
Evoluut en evolvent
Maatschappelijk probleem in de 17e eeuw:
bepaling van de geografische lengte op zee
lengte ∼ tijd (360 = 15 × 24)
slingeruurwerk: periode neemt toe met amplitude
Gezocht aangepaste, isochrone slinger
Idee: ‘wangen’ verkorten de slingerlengte ℓ,
verkorten dus de periode, bij grotere amplitude
Wat is de vorm van deze ‘wangen’?
(musea Boerhaave, Hofwijck, Teylers)
Verwante problemen
- Periode als functie van de amplitude (elliptische integralen)
- Meetkundige eigenschappen van krommen en hun evoluut
H&B – p.10/27
Slingeruurwerk met ‘wangen’
Klok gemaakt door Solomon Coster in opdracht van
Christiaan Huygens
J.M. Aarts en H.W. Broer, Schoolmeetkunde in het Horologium Oscillatorium van Christiaan
Huygens. In Liber Amicorum voor Agnes Verweij. (2011)
J.G. Yoder, Unrolling Time, Christiaan Huygens and the mathematisation of nature. Cambridge
University Press (1988)
H&B – p.11/27
Twee cycloïden
Hoe is de isochrone kromme te implementeren
bij de slinger?
Voor de eenvoud nemen we ̺ = 1, beschouw
cycloïden C = C(ϕ) en E = E(ϕ):
ξC (ϕ) = ϕ + sin ϕ,
ηC (ϕ) = 1 − cos ϕ
ξE (ϕ) = ϕ − sin ϕ,
ηE (ϕ) = 3 + cos ϕ,
|ϕ| ≤ π
E en C congruent
E is de evoluut van C en C de evolvent van E
H&B – p.12/27
Huygens’ oplossing
K(ϕ) = koorde tussen C(ϕ) en E(ϕ)
Zie je het aankomen ?
H&B – p.13/27
De meester zelve . . .
H&B – p.14/27
Evoluut en evolvent
De evoluut E bestaat uit
de kromte-middelpunten van de evolvent C
en ‘omhult’ de normalen-bundel van C
denk ook aan een optische caustiek . . .
H&B – p.15/27
Gedetailleerde formulering
1. K(ϕ) raakt aan E en staat loodrecht op C ;
2. |K(ϕ)| is de kromte-straal van C in C(ϕ)
Commentaar:
- Ophangpunt van de slinger is de cusp van E
het slingerkoord wikkelt af langs de ‘wangen’ E
=⇒ slingermassa volgt C
- K⊥C ∼ instantane rotatie in de rollende wiel
constructie van de cycloïde
NB: K⊥C ⇒ wrijvingsloze kraal-dynamica
H.W. Broer, Huygens’ isochrone slinger. Euclides 70(4) (1995) 110-117
H&B – p.16/27
Controle met VWO berekeningen
Lemma: K(ϕ)//E ′ (ϕ)
en K(ϕ)⊥C(ϕ)
Bewijs: Enerzijds:
0
K(ϕ) = C(ϕ) − E(ϕ) = @
0
@
2 sin
ϕ
2
cos
ϕ
2
−2 cos2 ϕ
2
1
1
2 sin ϕ
−2 − 2 cos ϕ
0
Ak@
sin ϕ
2
− cos ϕ
2
A=
1
A;
Anderzijds:
0
E ′ (ϕ) = @
1 − cos ϕ
− sin ϕ
1
0
A=@
2 sin2 ϕ
2
ϕ
−2 sin 2 cos ϕ
2
1
0
Ak@
sin ϕ
2
− cos ϕ
2
etc., etc., etc.
NB: Controle dat k(ϕ) = booglengte langs E van E(ϕ) tot het uiteinde:
√ √
Enerzijds: k(ϕ) = 2 2 1 + cos ϕ = 4 cos ϕ
,
2
Anderzijds is de booglengte gelijk aan 4 sin ϕ+π
= 4 sin( ϕ
+ π2 ) = 4 cos
2
2
“klopt !”
1
A
QED
ϕ
;
2
H&B – p.17/27
Johann Bernoulli’s verrassing
Het brachistochrone probleem (Groningen 1696):
Gegeven: Twee punten P and Q in een verticaal vlak
onder invloed van de zwaartekracht
Gevraagd: Draadprofiel voor een kraal om van P naar
Q te glijden in de kortste tijd
Optische metafoor:
de kraal volgt een lichtstraal door een optisch medium
met een geschikt gekozen voortplantings-snelheid
v = v(h)
H&B – p.18/27
Twee principes
P
x
1
2
αj
nj
αj+1
nj+1
j
j+1
N
Q
h
Voortplantings-snelheid via Behoud van Energie
1
2
v 2 (h) − gh = constant
(1)
Lichtstraal via Fermat’s Principe van de kortste tijd
H&B – p.19/27
Discretisatie
Horizontale lagen 1, 2, . . . , N van gelijke dikte waarin
konstante voortplantings-snelheid vj , 1 ≤ j ≤ N
Lichtstraal volgt een gebroken rechte lijn,
breking volgens de wet van Snellius
Limiet N → ∞ geeft cycloïde:
rolhoek ϕ is 2-maal de inclinatie met de verticaal
Deze bewering heeft bewijs van node!
H&B – p.20/27
Fermat impliceert Snellius (Leibniz 1684)
Willebrord Snellius
1580–1626
Gottfried Wilhelm Leibniz
1646–1716
H&B – p.21/27
Optica
P
n1 = 1/v1
α1
δ
R′
R
α2
n2 = 1/v2
Q
Breking tussen twee media:
nj = 1/vj , j = 1, 2 brekings indices
Wet van Snellius:
n1 sin α1 = n2 sin α2
H&B – p.22/27
Optica (vervolg)
n1 = 1/v1
δ sin α1
α1
δ
R′
R
α2
δ sin α2
n2 = 1/v2
Bewijs: Beschouw de variatie van een willekeurig pad P → R → Q naar P → R′ → Q
waarbij R′ − R = δ
Tijds-verschil:
δn1 sin α1 − δn2 sin α2 + O(δ 2 )
Optimale keuze voor R :
n1 sin α1 = n2 sin α2
QED
Commentaar: Er bestaat ook een VWO bewijs met rechthoeken . . .
H&B – p.23/27
Afleiding cycloïde
Wet van Snellius tussen opeenvolgende laagjes
sin αj+1
sin αj
=
,
vj
vj+1
j = 1, 2, . . . , N
Als N → ∞ geeft dit nog een behoudswet
sin α
=C
v
(2)
Behoudswetten (1) en (2) ⇒
geparametriseerde kromme
α 7→ (x(α), h(α))
H&B – p.24/27
Nog enkele VWO-berekeningen
Lemma (we korten af v ′ = dv/dh)
v′ =
g
v
and
cos α = Cv ′
dh
,
dα
Proof: Differentieer (1) naar h en (2) naar α
QED
Nu volgt
dh
dα
lemma
=
1
1
(2)
v cos α =
sin 2α
Cg
2C 2 g
(3)
terwijl:
dh (3)
dx
1
(2)
= tan α
(1 − cos 2α)
= v sin α =
dα
dα
2C 2 g
Integratie geeft dan
h(α)
=
x(α)
=
1
cos 2α
4C 2 g
1
(2α − sin 2α) :
x0 +
4C 2 g
h0 −
Cycloïde met rolhoek ϕ = 2α en straal ̺ = 1/(4C 2 g)
QED
H&B – p.25/27
Commentaar
1. Prijsvraag in Acta Eruditorum
Veel tijdgenoten zonden oplossing in
die van Newton was anoniem, echter,
ex ungue leonem cognavi
2. Tegenwoordig is dit een oefening in de cursus
q
)
Variatierekening bijvoorbeeld, met Lagrangiaan L(h, h′ ) = 1+(h
−2gh
′ 2
H.H. Goldstine, A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century.
Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 5, Springer-Verlag (1980)
H&B – p.26/27
Achtergrond literatuur
1. J.M. Aarts, Meetkunde: facetten van de planimetrie en stereometrie, Epsilon Uitgaven 47
(2000)
2. V.I. Arnold, Huygens & Barrow, Newton & Hooke. Birkhäuser (1990)
3. O. Bottema, Theoretische Mechanica, Epsilon Uitgaven 3 (1985)
4. H.W. Broer, Huygens, Bernoulli en enige atmosferische optica. (2011) (in preparation)
5. H. Erlichson, Johann Bernoulli’s brachistochrone solution using Fermat’s principle of
least time. Eur. J. Phys. 20 (1999) 299–304
6. J.A. van Maanen, Een Complexe Grootheid, leven en werk van Johann Bernoulli,
1667–1748. Epsilon Uitgaven 34 (1995)
H&B – p.27/27

Download Report