統計学第３回西山第２回のまとめ確率分布＝決まっている分布の形期待値とは平均計算平均＝合計÷個数から卒業！平均＝割合×値の合計同じ平均値でも同じ分散や標準偏差でも XとEX  S とV X  2 SとSDX  復習問題【１】前の授業はここまで表の出る確率が0.4であるコインを使って、賭け金を1000円にしてすると、どうなる？平均利得 -1000 1000 -200 偏差二乗偏差確率 -800 640000 0.6 1200 1440000 0.4 0 960000 ↓ 分散＝ 960000 標準偏差＝ 979.7959 利得 -1000 1000 確率 0.6 0.4 E  X   0.6   1000   0.4  1000  200 V  X   0.6  {1000  (200 )}2  0.4  {1000  (200 )}2  960000 SD X   960000  979.8 復習問題【２】変数Xの分布は以下に示すとおりである。設問に答えなさい。値（X) 0 1 確率（P) 0.3 0.7 1. Xの確率分布図を描きなさい 2. Xの平均値E[X]と分散V[X]、標準偏差SD[X]を求めなさい復習問題【２】の解答確率分布図を描くのは非常に容易なので省略。横軸をX、縦軸をP として棒グラフを描けばよいまず平均値は E X   0.3  0  0.7  1  0.7 分散は公式を使う   E X 2  0.3  0 2  0.7  12  0.7    V X   E X 2  EX   0.7  0.7 2  0.7  0.3 2  SDX   0.21  0.46 復習問題【３】（１）さいころを6回振ったところ、１、２、６、６、１、２となった。平均と分散、標準偏差を求めなさい。平均計算＝値× 割合の合計、によっても同じ平均値と標準偏差が得られることを確かめなさい。（２）正しいサイコロを振るときに出る目の数をXと置く。E[X] とV[X]、SD[X]を求めなさい。こうすればできます平均＝値×割合の合計割合は確率的に考える時と、実際のデータを見る時とで違いますね。まず確率的にいきましょう。実際のデータでは？値割合１ 1/6 2/6 ２ 1/6 2/6 ３ 1/6 ４ 1/6 ５ 1/6 ６ 1/6 2/6 確率的な計算は教科書69～70ページを見てください復習クイズ【3】の解答 EX   3.5 確率的には V X   2.92 SDX   1.71 データの平均 X  1 2 2 2 18  2  6  3 6 6 6 6 S 2  1  3  2 データの分散  S  2.16 2 2 2 28 2 2  2  3   6  3    4.67 6 6 6 6 第３回目の目標 1. 2. 3. EとVの基本公式平均値の性質分散や標準偏差の性質教科書：第2章の頁73～75 ゲタの公式―平均値変数Xにゲタをはかせれば平均も同様にゲタをはく EaX  b  aE X   b 例：正しいサイコロを振って出る目の数を2倍した値の平均値を求めなさい．上の式が常に成り立つことを示しなさい．公式は常に成り立ちます値確率 X1 P1 X2 P2 : : Xn Pn 期待値の定義から結論が得られます EaX  b  aE X   b ゲタの公式―ばらつき一定の数を足しても、ばらつきは変わらない．一定の数を掛けると、同じだけばらつきも変わる．なお、ばらつきとは標準偏差のこと． V aX  b  a V X  2 SDaX  b  a SDX  例：正しいサイコロを振って出る目に２を加えた値を考える。この値の分散・標準偏差はいくらか？上の式を証明しなさい．合計の公式―平均合計の平均は平均の合計である． EX  Y   EX   EY  例：二つの正しいサイコロを振ったときの目の数の和は平均いくらか？データについて同じ問題を考えよ．合計の公式―ばらつき合計の分散は分散の合計」になるとは限らない！一般には、合計の分散がどうなるか分からない．英語高い普通低い数学高い普通低い合計点極めて高い普通極めて低い分散上昇 XとYが独立なら、英語高い普通低い数学低い普通高い合計点普通普通普通分散縮小 V X  Y   V X   V Y  分散＝二乗の平均－平均の二乗この公式も頻繁に利用します．    EX  V X   E X 2 2 もちろんデータについても同じ関係があります． N 1 2 2 S   X  X  N i 1 2 問題： 1. 「分散＝二乗偏差の期待（平均）値」を式で表現しなさい． 2. 上の公式（水色部分）を証明しなさい．１限：２から２限：１から練習問題   １．E[X]＝3、V[X]=2のとき、V  X  3 / 2 を求めなさい．   ２．E[X]=1、V[X]=3のとき E X 2 を求めなさい．３．互いに独立な確率変数XとYについて、E[X]=1、 V[X]=9、およびE[Y]=－1、V[Y]=16がわかっている．このとき、 2 E X  Y  25 の値を求めなさい．  