数理統計学第５回西山宿題（第3回出題）の解答分散＝二乗の平均－平均の二乗、であることを示しなさい。  X n i 1  X    X i   2 X X i  n X 2   X i  nX 2 2 i n i 1 2 n n i 1 i 1 上の両辺をデータの個数nで割ればよい 2 第４回のまとめ確率分布＝決まっている分布期待値＝平均計算平均＝合計÷個数から卒業！平均＝割合×値の合計同じ平均値でも同じ分散や標準偏差でも XとEX  S とV X  2 SとSDX  復習クイズ―【３】再掲 • 正しいサイコロを振るときに出る目の数をXと置く。 E[X]とV[X]、SD[X]を求めなさい。 • 6回振ったところ、１、２、６、６、１、２となった。平均計算＝値×割合の合計、によって平均値と標準偏差を求めなさい。こうすればできます平均＝値×割合の合計割合は確率的に考える時と、実際のデータを見る時とで違いますね。データを見ると、・・・確率は明らかですね。値割合１ 2/6 ２ 2/6 ３ 0 ４ 0 ５ 0 ６ 2/6 復習クイズの解答確率的な計算は教科書69～70ページを見てくださいデータの平均 X  1 2 2 2 18  2  6  3 6 6 6 6 S 2  1  3  2 データの分散  S  2.16 2 2 2 28 2 2  2  3   6  3    4.67 6 6 6 6 サイコロの目の確率分布第３回目の目標 1. 2. 3. EとVの基本公式平均値の性質分散や標準偏差の性質教科書：第2章の頁73～75 ゲタの公式―平均値変数Xにゲタをはかせれば平均も同様にゲタをはく EaX  b  aE X   b 例：正しいサイコロを振って出る目の数Xを2倍した値の平均値を求めなさい．上の式が常に成り立つことを示しなさい．ゲタの公式―ばらつき Xに一定の数を足しても、ばらつきは変わらない．一定の数を掛けると、同じだけばらつきも変わる．なお、ばらつきとは標準偏差のこと． V aX  b  a 2V X  SDaX  b  a SDX  例：正しいサイコロを振って出る目に２を加えた値を考える。この値の標準偏差と分散はいくらか？上の式を証明しなさい．合計の公式―平均合計の平均は平均の合計である． EX  Y   EX   EY  例：二つの正しいサイコロを振ったときの目の数の和は平均いくらか？データについて同じ問題を考えよ．合計の公式―ばらつき合計の分散は分散の合計になるとは限らない！ XとYが独立なら、 V X  Y   V X   V Y  では2個のサイコロの目の和の分散は？一般には、合計の分散がどうなるか分からない．英語高い普通低い数学高い普通低い合計点極めて高い普通極めて低い分散上昇英語高い普通低い数学低い普通高い分散縮小合計点普通普通普通分散＝二乗の平均－平均の二乗この公式も頻繁に利用します．    EX  V X   E X 2 2 もちろんデータについても同じ関係があります． N 1 2 2 2 S   X  X  N i 1 問題： 1. 「分散＝二乗偏差の期待（平均）値」を式で表現しなさい． 2. 上の公式（水色部分）を証明しなさい．練習問題授業は問題１まで１．E[X]＝3、V[X]=4のとき、Y=2X+4とするとYの平均と標準偏差はいくらになりますか．   ２．E[X]=1、V[X]=3のとき E X 2 を求めなさい．３．互いに独立な確率変数XとYについて、E[X]=1、 V[X]=9、およびE[Y]=－1、V[Y]=16がわかっている．このとき、 2 E X  Y  25 の値を求めなさい．  