離散最適化基礎論 (11) 2015 年 1 月 9 日 演習問題 岡本 吉央

離散最適化基礎論 (11)
演習問題
2015 年 1 月 9 日
岡本 吉央
提出締切: 2015 年 1 月 23 日
ただし,x ∈ RE が変数であり,δ(v) は頂点 v に接続する辺
復習問題 11.1 次の整数計画問題 (P) を考える.
(P) maximize
全体の集合を表す.この問題 (P) の線形計画緩和 (LP) は
c x
以下の問題である.
x1 + 2x2 ≤ 2,
subject to
2x1 + x2 ≤ 2,
(LP)
maximize
subject to
x1 , x2 ∈ Z.
c x
subject to
x1 + 2x2 ≤ 2,
max
w≥0
2x1 + x2 ≤ 2,
が
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
3
2
G = (V, E) と非負頂点重み関数 w : V → R が入力として
与えられ,w に関する G の最小重み頂点被覆を出力する.
(LP) の最適値
(P) の最適値
次の問題 (P) は,最小重み頂点被覆問題を整数計画問題
として定式化したものである.
(P)
復習問題 11.2 次の整数計画問題 (P) を考える.
minimize
subject to
w(v)yv
∑
yv ≥ 1
(∀ e ∈ E),
yv ∈ {0, 1}
(∀ v ∈ V ).
v∈e
Ax ≤ b,
x ∈ Zn .
ただし,y ∈ RV が変数である.この問題 (P) の線形計画緩
ただし,変数は x であり,A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn は定
和 (LP) は以下の問題である.
数である.この問題の線形計画緩和 (LP) は以下の問題で
ある.
(LP) minimize
subject to
∑
v∈V
c x
maximize
(LP) の最適値
(P) の最適値
以上であるようなグラフ G が存在することを証明せよ.
が何であるか,定めよ.
(LP)
(∀ e ∈ E).
復習問題 11.4 最小重み頂点被覆問題では,無向グラフ
問題 (P) の整数性ギャップ,つまり,
subject to
(∀ v ∈ V ),
このとき,問題 (P) の整数性ギャップ,つまり,
maximize
(P) maximize
xe ≤ 1
0 ≤ xe ≤ 1
線形計画緩和 (LP) は以下の問題である.
c≥0
∑
e∈δ(v)
ただし,x1 , x2 が変数であり,c ∈ R2 は定数である.その
max
xe
e∈E
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
(LP)
∑
∑
w(v)yv
v∈V
c x
subject to
Ax ≤ b.
∑
yv ≥ 1
(∀ e ∈ E),
0 ≤ yv ≤ 1
(∀ v ∈ V )
v∈e
問題 (LP) の許容領域が整凸多面体であるとき,(P) の整数
性ギャップが 1 となることを証明せよ.
このとき,任意の自然数 n ≥ 2 に対して問題 (P) の整数性
復習問題 11.3 最大重みマッチング問題では,無向グラフ
ギャップ,つまり,
G = (V, E) と非負辺重み関数 w : E → R が入力として与え
られ,w に関する G の最大重みマッチングを出力する.
max
w≥0
次の問題 (P) は,最大重みマッチング問題を整数計画問
が2−
題として定式化したものである.
∑
(P) maximize
xe
2
n
(P) の最適値
(LP) の最適値
以上であるような頂点数 n のグラフ G が存在する
ことを証明せよ.
e∈E
subject to
∑
xe ≤ 1
(∀ v ∈ V ),
(裏に続く)
e∈δ(v)
xe ∈ {0, 1}
(∀ e ∈ E).
1
追加問題 11.5 問題 11.3 にある問題 (P) と (LP) を考え
る.次の図に挙げるグラフを入力とするとき,(P) の整数
性ギャップが
5
4
以上となることを証明せよ.
追加問題 11.6 問題 11.3 にある問題 (P) と (LP) を考え
る.次の図に挙げるグラフを入力とするとき,(P) の整数
性ギャップが
8
7
以上となることを証明せよ.
追加問題 11.7 問題 11.4 にある問題 (P) と (LP) を考え
る.次の図に挙げるグラフを入力とするとき,(P) の整数
性ギャップが
4
3
以上となることを証明せよ.
2