離散数理工学 (8) 演習問題 2014 年 12 月 2 日岡本吉央提出締切： 2014 年 12 月 9 日復習問題 8.1 (離散) 確率空間 (Ω, Pr) を考える．事象 A, B 補足問題 8.9 (離散) 確率空間 (Ω, Pr) を考える．2 つの自が排反であるとき，Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) となるこ然数値確率変数 X, Y と定数 c に対して，次が成り立つこととを証明せよ．を証明せよ．復習問題 8.2 公平なサイコロ 1 つの出目を確率変数 X で 1. E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]．表すとき，以下の量が何であるか，答えよ． 2. E[cX] = cE[X]． 2. E[X 2 ]． 1. E[X]．補足問題 8.10 (離散) 確率空間 (Ω, Pr) を考える．2 つの自然復習問題 8.3 (離散) 確率空間 (Ω, Pr) を考える．事象 A, B 数値確率変数 X, Y が独立であるとき，E[XY ] = E[X]E[Y ] が Ω = A ∪ B と A ∩ B = ∅ を満たすとき，が成り立つことを証明せよ． E[X] = E[X | A] Pr(A) + E[X | B] Pr(B) 追加問題 8.11 確率変数 X を次で定義するが成り立つことを証明せよ． Pr(X = 0) = 復習問題 8.4 (離散) 確率空間 (Ω, Pr) を考える．事象 A, B Pr(X = 1) = 1 , 3 Pr(X = 2) = 1 . 3 このとき，以下の量が何になるか，答えよ．に対して Pr(A ∪ B) ≤ Pr(A) + Pr(B) 1. E[X]．が成り立つことを証明せよ． 2. E[X 2 ]． 3. E[2X ]．追加問題 8.12 独立な確率変数 X, Y を次で定義する復習問題 8.5 (離散) 確率空間 (Ω, Pr) を考える．非負自然 1 , 2 1 Pr(Y = 0) = , 2 数値確率変数 X ≥ 0 と正実数 t > 0 に対して，E[X] が存 Pr(X = 0) = 在するとき， Pr(X ≥ t) ≤ 1 , 3 E[X] t また，Z = X + Y (mod 2) として定義する．が成り立つことを証明せよ．復習問題 8.6 公平なサイコロを独立に 100 回振ったとき，その出目の総和が 500 以上になる確率が 100 ( 21 32 ) 以下とな 3. 次の等式が成り立つか，成り立たないか，答えよ：任意の x, y, z ∈ {0, 1} に対して Pr(X = x かつ Y = 1. i 回目に振ったサイコロの出目を Xi とする．このとき，E[2Xi ] が何であるか，答えよ． y かつ Z = z) = Pr(X = x) Pr(Y = y) Pr(Z = z). 2. E[2X1 +···+X100 ] が何であるか，答えよ． 3. マルコフの不等式を用いて， ( 21 32 1. X と Z が独立であることを示せ． 2. Y と Z が独立であることを示せ．ることを，以下の手順に従って証明せよ． Pr(X1 + · · · + X100 ) ≤ 1 , 2 1 Pr(Y = 1) = . 2 Pr(X = 1) = )100 となることを示せ．補足問題 8.7 (離散) 確率空間 (Ω, Pr) を考える．このとき， Pr(Ω) = 1 と Pr(∅) = 0 が成り立つことを証明せよ．補足問題 8.8 (離散) 確率空間 (Ω, Pr) を考える．任意の事象 A に対して，Pr(Ω − A) = 1 − Pr(A) が成り立つことを証明せよ． 1