東邦大学理学部情報科学科卒業研究発表会指導教員白柳潔提出者 5508018 大貫佑一郎平方剰余その１ a は整数で、p を2 以外の素数かつ、a とp が互いに素であるとする。 x 2 ≡ a (mod p) が整数解を持つとき、a を p の平方剰余、そうでないときに平方非剰余という。平方剰余のとき 1 a    p ルジャンドル記号平方非剰余のとき -1 平方剰余その２例えば、p を7,つまり7を法としたとき 12 11  1 1 =1 7 2 24  4 2 2 =1 7 32  9 32(mod7) 52  255 4(mod7) 3 = −1 7 5 = −1 7 42  164  2(mod7) 62  366 1(mod7) 4 =1 7 6 = −1 7 この世界では、1, 2, 4 が平方剰余である。また、3, 5, 6 は平方非剰余である。このように、平方剰余であるものとないものはちょうど半分になる。平方剰余に関するチャップマンの予想 p = 2k + 1 が素数 > 3であり、≡ 3 (mod 4) とする。そのとき、(i,j)-成分が i+j p のk次行列は非正則である。すなわち行列式 = 0というものである。 ※以下チャップマン行列と略す例 p = 11, k = 5 のとき 𝑖+𝑗 𝑝 𝑖+𝑗 1 -1 1 0 研究目的・平方剰余の性質を理解・チャップマンの予想を把握チャップマン行列の行列式が0になるという予想の裏には何があるのか？チャップマン行列の階数、同次連立一次方程式について調べる予想に関する実験・チャップマン行列から階数（Rank）について検証・行列を同次連立一次方程式として、その解について調査１０００１００００ Rank 実験方法数式処理ソフトMapleを使い、最小値である p = 7 から p の数を 4ケタほどまで for文でまわす。 𝑥−𝑦+𝑧 =0 −𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 𝑥−𝑦−𝑧 =0 ？実験結果その１ ○：行列のサイズ △：階数 □：同次連立一次方程式の解の0成分の個数 ○ △ □ 3 2 1 5 4 3 95 99 105 3 111 110 1 243 242 1 112 3 375 374 1 3 113 245 244 3 118 1 393 392 3 249 248 3 405 404 3 411 410 1 413 412 3 419 418 1 429 428 3 431 430 1 441 440 3 443 442 1 453 452 3 9 11 8 10 94 98 104 1 3 3 231 230 1 363 362 1 233 232 3 369 368 3 239 238 1 371 370 1 15 14 3 119 21 20 3 125 124 3 251 250 1 1 131 130 1 261 260 3 134 1 273 272 3 23 22 29 28 3 135 33 32 3 141 140 3 281 280 3 35 34 1 153 152 3 285 284 3 39 38 3 155 154 1 293 292 3 41 40 3 165 164 3 299 298 1 51 50 1 173 172 3 303 302 1 53 52 3 179 178 1 309 308 3 63 62 1 183 182 1 315 314 1 455 454 1 65 64 3 189 188 3 321 320 3 459 458 1 69 68 3 191 190 1 323 322 1 473 472 3 75 74 1 209 208 3 329 328 3 483 482 1 81 80 3 215 214 1 341 340 3 485 484 3 83 82 1 219 218 1 345 344 3 491 490 1 89 88 3 221 220 3 359 358 1 495 494 1 実験結果その２行列サイズ階数（Rank）同次連立一次方程式の解階数は行列のサイズより１だけ小さいものになった。方程式の解は、・０が一つで他が任意の定数・０が三つで他が任意の定数の２パターン・・・・・・三つの予想・行列がn次行列のとき、階数がn-1となる・同次連立1次方程式の解の0の個数には、 1個の場合と3個の場合の2パターンしか存在しない・また0の並びにも規則性がある行列階数 △ □ □ ▽ □ △ ▽ △ ・・・ 0 解 □ 0 △ □ ▽ ▽ ・・・ 0 □ 0 まとめと今後の課題実験から新しく三つの予想を立てることができた階数が1減る現象、同次連立一次方程式の解の背景を解明できるように！！参考文献・「数論への出発」 1980年度日本評論社著者藤崎源二郎、森田康夫、山本芳彦・「数論（未解決問題）の辞典」 2011年度朝倉書店著者リチャード・K・ガイ訳金光滋