システム制御工学第３章システム解析可制御性と可観測性制御システムの構成手順  システムモデリング；制御対象の数式モデルを作成  状態方程式（微分方程式・差分方程式）  伝達関数（ラプラス変換・Z変換）  システム解析；制御対象の特性を調査  安定性  可制御性，可観測性（アクチュエータやセンサの配置問題）  コントローラの設計；目的を満たすコントローラを設計  極配置，オブザーバ  最適レギュレータ  コントローラの実現・実装可制御性と可観測性  制御できるとは？観測できるとは？理論的側面からの問題提起工学的側面からの問題提起 1. 入力をうまく操作することで，状態を望む状態に一致させることは可能か？ 2. 入力と観測データから，初期状態を一意に決定できるか？ 1. 制御するのに，アクチュエータの数や配置は適切か？ 2. 観測するのに，センサの数や配置は適切か？状態入力出力可制御性の定義  状態：次元ベクトル : 行列： 1 行列 :1 行列考察の対象：DLTIシステム可制御性の定義 DLTIシステムの初期状態をゼロ（ 0 に対して適当な時刻て， 0 と入力 0）とする．任意に与えた状態 , 0, … , 1 が存在しとできるとき，DLTIシステムは“可制御である”というシステム行列を用いて，可制御か否かを判定する方法は？可制御性の必要十分条件  次正方行列可制御性行列：可制御性の条件 DLTIシステムが可制御 rank 行列の階数（  ）行列の掃き出し法（基本演算）二つの行（列）を交換する  ある行（列）にゼロでない定数を掛ける  ある行（列）の定数倍を別の行（列）に加える   階段行列対角要素より下の要素がすべてゼロの行列  ある行のすべての要素がゼロの場合もありうるヶ   行列の階数（rank）基本演算で階段行列に変換  階段行列の非ゼロである対角要素の個数  次正方行列が正則  rank  可制御性の必要十分条件  十分性（）の証明ここで，とする． 0 より可制御性の必要十分条件  十分性（）の証明ここで，任意に与えた状態により，とできる次元ベクトルと可制御性行列を用いて構成した入力可観測性の定義  状態：次元ベクトル : 行列： 1 行列 :1 行列考察の対象：DLTIシステム可観測性の定義 DLTIシステムにおいて，適当な時刻 0 が存在して，入力および出力 , 0, 1, … , 1 から初期状態を一意に決定できるとき，DLTIシステムは“可観測である”というシステム行列を用いて，可観測か否かを判定する方法は？可観測性の必要十分条件  可観測性行列：次正方行列可観測性の条件 DLTIシステムが可観測 rank 可観測性の必要十分条件  十分性（）の証明として， 0 , … , を計算すると可観測性の必要十分条件  十分性（）の証明可観測性行列ベクトル，行列表現をすると各ベクトルや行列を，上のように定義するととなり，rank であるので，初期状態は以下で求まる倒立振子の可制御性と可観測性  線形モデル  状態変数：振子の角度：振子の角速度  ：台車の変位状態方程式：台車の速度倒立振子の可制御性と可観測性  Scipad を起動して，倒立振子の連続時間モデルの構築    各種パラメータの設定（以前スライドの値と同じ）システム行列 A,b,c を設定 “syslin” コマンドで線形時不変システムを定義 g 台車の質量 M kg 0.740 振子の質量 m kg 0.125 振子の長さ l m 0.354 台車と床の摩擦係数 cM 2.6 台車と振子の摩擦係数 cM m/sec^2 9.8 重力加速度 kg/sec 1.98e‐3 倒立振子の連続時間モデル  Scipad を起動して，倒立振子の連続時間モデルの構築    各種パラメータの設定システム行列 A,b,c を設定 “syslin” コマンドで線形時不変システムを定義「エル，ゼロ，１，ゼロ」です倒立振子の連続時間モデル  Scipad を起動して，倒立振子の連続時間モデルの構築    各種パラメータの設定システム行列 A,b,c を設定 “syslin” コマンドで線形時不変システムを定義倒立振子の離散時間モデル  サンプル周期を設定して，離散時間モデルを構築倒立振子の可制御性と可観測性  可制御性，可観測性行列の取得と判定 ... ... -->Mc = cont_mat(dLTI) Mc = ...... // 前のスライドの作業を行って， // 離散時間システムの登録を済ます // 可制御性行列の取得 -->rank(Mc) ans = 4 -->Mo = obsv_mat(dLTI); -->rank(Mo) ans = 4 // 可観測性行列の取得状態変換と可制御性・可観測性  状態変換行列：（  変換後のシステム行列 ̅, , ̅ ,  の正則行列） rank で，逆行列が存在 , 変換前後の可制御性行列 rank であるから，rank rank である．すなわち，可制御であるか否かは変化しない可制御正準系  行列  状態変換行列システム（系）の特性多項式と呼ぶこともの特性多項式可制御だから，逆行列が定義できる可制御正準系で求まる適当なベクトル可観測正準系  変換行列で求まる適当なベクトル可制御なシステムのパルス伝達関数  可制御正準系のパルス伝達関数  パルス伝達関数  状態変換に対して不変可制御なシステム  可制御正準系に変換可能  パルス伝達関数  状態方程式の変換が可能可制御なシステムの伝達関数は，上式で表現できる対角正準系の可制御性と可観測性：行列の相異なる固有値（要素ごとに書き下す）可制御  すべての可観測  すべての 0 0 対角正準系の可制御性の条件可制御性行列の定義「可制御  すべてのは明らかバンデルモンド行列： , なら正則 0」対角正準系からパルス伝達関数へ  対角正準系のパラメータを用いたパルス伝達関数もし，可制御でないなら， 0 なるが存在右辺の第項が消える  伝達関数の次数が，状態方程式の次元より低くなる  伝達関数では現れないサブシステムが存在 ※ 不可観測の場合も同様の議論が可能対角正準系からパルス伝達関数へ  対角正準系のパラメータを用いたパルス伝達関数 ̅ ̅ ̅