P-1QR OR ] 3 A を m × n \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 0 0 0 0 0 0 0

線形代数学 A レポート
課題：下記の問題を解いて，レポートにまとめて提出
締め切り日時：7 月 29 日（金）16:30 まで
提出先：全学教育推進機構教務係内レポート BOX
注意: (1) レポートに学籍番号・氏名を必ず記入すること．
(2) レポートは原則返却しない．必要であればコピーを取って保存すること．
[
]
P Q
1 A を (m + n) × (m + n) 行列とし，A のブロック分割が A =
で与えられているとする．ただし P
O R
は m × m 行列，Q は m[ × n 行列，R は n ×
] n 行列とし，O は n × m 零行列とする．P , R が正則ならば A は
−1
−1
−1
P
−P QR
正則で，A の逆行列が
で与えられることを示せ．
O
R−1
2 a1 , a2 , . . . , ak を n 次元列ベクトルとする．
(1) A を m × n 行列とする．a1 , a2 , . . . , ak が１次従属ならば，Aa1 , Aa2 , . . . , Aak は１次従属となることを示せ．
(2) B を n 次正則行列とする．a1 , a2 , . . . , ak が１次独立ならば Ba1 , Ba2 , . . . , Bak は 1 次独立となることを
示せ．
3 A を m × n 行列，P を m 次正方行列，Q を n 次正方行列とする．
(1) rank P A ≤ rank A, rank AQ ≤ rank A を示せ．
(2) P , Q が正則ならば rank P A = rank A, rank AQ = rank A となることを示せ．
4 (1) 単位行列 E の行列式を求めよ．
(2) A を正則な正方行列とするとき，|A−1 | = 1/|A| となることを示せ．
5 (1) 次の等式が成り立つことを行列式の定義に従って示せ．
a11 a12 0
0 a
a
a
a
0
0
a
a
21 22
11 12 33 34 =
0
0 a33 a34 a21 a22 a43 a44 0
0 a43 a44 (2) A, B をそれぞれ m, n 次正方行列, C を m × n 行列，O を n × m 型の零行列とするとき，次の等式が成り
立つことを示せ．
A C = |A||B|
O B

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